Quelques remarques concernant la théorie des corps ordonnés différentiellement clos

Abstract

Nous commençons par donner une axiomatisation de caractère géométrique de la théorie des corps ordonnés différentiellement clos (notée $CODF$) introduite par M.Singer en 1978. Nous nous basons pour cela sur une construction similaire de D. Pierce et A. Pillay concernant la théorie des corps différentiellement clos de caractéristique zéro (notée $DCF_0$). Nous remarquons ensuite qu'un principe de {\it relèvement différentiel} permet de montrer que $CODF$ n'a pas la propriété d'indépendance (en d'autres termes, ses ensembles définissables ont une dimension de Vapnik-Chervonenkis finie). La méthode de preuve utilisée ici peut s'appliquer à d'autres exemples de théories de corps différentiels.

We first propose a ``geometrical'' axiomatization for the theory of closed ordered differential fields (denoted CODF) introduced by M.Singer in 1978. This axiomatization is the analogue of the Pierce-Pillay axiomatization for the theory of differentially closed fields of characteristic zero . We also remark that a {\it differential lifting} principle can be used to prove that $CODF$ has not the independence property (this result gives new examples of V-C classes of definable sets). The proof used here can be generalized to other examples of theories of differential fields.