Problàme de Skorohod multivoque

Abstract

On prouve un résultat d’existence et d’unicité pour une généralisation (par introduction d’un opérateur maximal monotone multivoque) du problème de Skorohod (avec réflexion normale) déterministe associé àun convexe fermé $D$ de $\mathbb{R}^d$. La formulation Í partir des opérateurs maximaux monotones multivoques permet de considérer des drifts singuliers explosant au bord du domaine. Cette ‘‘approche multivoque’’ clarifie la connexion entre problème de Skorohod et semigroupes nonlinéaires. En guise d’application, on considère ensuite le cas stochastique: les équations différentielles stochastiques multivoques sont ainsi revisitées. Par conséquent, cette contribution fournit une nouvelle méthode de construction de diffusions réfléchies normalement possédant un coefficient de dérive discontinu, explosif.

An existence and uniqueness result is proven for a generalization (by introduction of a multivalued maximal monotone operator) of the deterministic Skorohod problem (with normal reflection) associated with a closed convex $D$ in $\mathbb{R}^d$ . The maximal monotone operator formulation allows for drifts that blow up as one gets near the boundary. This ‘‘multivalued approach’’ clarifies the connection between nonlinear semigroup theory and the Skorohod problem. As a consequence, we discuss then the stochastic case: multivalued stochastic differential equations are thus revisited. Therefore, we give an alternative way to construct diffusions with normal reflecting boundary conditions and discontinuous, exploding drift.