November 2024 The contact process over a dynamical d-regular graph
Gabriel Leite Baptista da Silva, Roberto Imbuzeiro Oliveira, Daniel Valesin
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60(4): 2849-2877 (November 2024). DOI: 10.1214/23-AIHP1401

Abstract

We consider the contact process on a dynamic graph defined as a random d-regular graph with a stationary edge-switching dynamics. In this graph dynamics, independently of the contact process state, each pair {e1,e2} of edges of the graph is replaced by new edges {e1,e2} in a crossing fashion: each of e1, e2 contains one vertex of e1 and one vertex of e2. As the number of vertices of the graph is taken to infinity, we scale the rate of switching in a way that any fixed edge is involved in a switching with a rate that approaches a limiting value v, so that locally the switching is seen in the same time scale as that of the contact process. We prove that if the infection rate of the contact process is above a threshold value λ¯ (depending on d and v), then the infection survives for a time that grows exponentially with the size of the graph. By proving that λ¯ is strictly smaller than the lower critical infection rate of the contact process on the infinite d-regular tree, we show that there are values of λ for which the infection dies out in logarithmic time in the static graph but survives exponentially long in the dynamic graph.

Nous considérons le processus de contact sur un graphe dynamique défini comme un graphe aléatoire d-régulier avec une dynamique stationnaire de changement des arêtes. Dans cette dynamique de graphe, indépendamment de l’état du processus de contact, chaque paire {e1,e2} d’arêtes du graphe est remplacée par de nouvelles arêtes {e1,e2} de manière croisée : chacun des e1, e2 contient un sommet de e1 et un sommet de e2. Lorsque le nombre de sommets du graphe est porté à l’infini, nous échelonnons le taux de commutation de manière à ce que toute arête fixe soit impliquée dans une commutation avec un taux qui se rapproche d’une valeur limite v, de sorte que localement la commutation est vue dans la même échelle de temps que celle du processus de contact. Nous prouvons que si le taux d’infection du processus de contact est supérieur à une valeur seuil λ¯ (dépendant de d et v), alors l’infection survit pendant un temps qui croît de manière exponentielle avec la taille du graphe. En prouvant que λ¯ est strictement inférieur au taux d’infection critique inférieur du processus de contact sur l’arbre infini d-régulier, nous montrons qu’il existe des valeurs de λ pour lesquelles l’infection s’éteint en temps logarithmique dans le graphe statique mais survit pendant un temps exponentiellement long dans le graphe dynamique.

Funding Statement

The research of the first and third authors was funded by the grant NWO Physical Sciences TOP-Grant – Module 2 2016 EW, project number 613.001.603 (“Epidemics on static and dynamic networks: towards general results”). The authors are thankful to NWO for the support. In the period in which this work was written, the third author was affiliated to the University of Groningen.

Citation

Download Citation

Gabriel Leite Baptista da Silva. Roberto Imbuzeiro Oliveira. Daniel Valesin. "The contact process over a dynamical d-regular graph." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 60 (4) 2849 - 2877, November 2024. https://doi.org/10.1214/23-AIHP1401

Information

Received: 5 January 2022; Revised: 31 March 2023; Accepted: 30 April 2023; Published: November 2024
First available in Project Euclid: 19 November 2024

MathSciNet: MR4828859
Digital Object Identifier: 10.1214/23-AIHP1401

Subjects:
Primary: 60J85 , 60K35
Secondary: 82C22

Keywords: contact process , Dynamic graphs , Random graphs

Rights: Copyright © 2024 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré

Vol.60 • No. 4 • November 2024
Back to Top