Generalized range of slow random walks on trees

Abstract

In this work, we are interested in the set of visited vertices of a tree $\mathbb{T}$ by a randomly biased random walk $\mathbb{X}:=({\mathit{X}}_{\mathit{n}},\mathit{n}\in \mathbb{N})$. The aim is to study a generalized range, that is to say the volume of the trace of $\mathbb{X}$ with both constraints on the trajectories of $\mathbb{X}$ and on the trajectories of the underlying branching random potential $\mathbb{V}:=(\mathit{V}(\mathit{x}),\mathit{x}\in \mathbb{T})$. Focusing on slow regime’s random walks (see Hu and Shi (2016); Andreoletti and Chen in Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (2018) 466–513), we prove a general result and detail examples. These examples exhibit many different behaviors for a wide variety of ranges, showing the interactions between the trajectories of $\mathbb{X}$ and the ones of $\mathbb{V}$.

Nous nous intéressons aux sommets d’un arbre de Galton–Watson $\mathbb{T}$ visités par une marche biaisée aléatoirement $\mathbb{X}:=({\mathit{X}}_{\mathit{n}},\mathit{n}\in \mathbb{N})$. Plus particulièrement, nous étudions une trace généralisée, c’est à dire le volume des points visités par $\mathbb{X}$ avec des containtes à la fois sur $\mathbb{X}$ et sur l’environnement aléatoire branchant $\mathbb{V}:=(\mathit{V}(\mathit{x}),\mathit{x}\in \mathbb{T})$. Nous nous concentrons sur le régime lent (voir Hu et Shi (2016) ; Andreoletti et Chen dans Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (2018) 466–513), en montrant un résultat général et en détaillant des exemples caractéristiques. Ces exemples font apparaître une grande variété de comportements asymptotiques pour ce type de traces mettant en avant les interactions fortes entre $\mathbb{X}$ et $\mathbb{V}$.