Active phase for activated random walks on the lattice in all dimensions

Abstract

We show that the critical density of the Activated Random Walk model on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ is strictly less than one when the sleep rate λ is small enough, and tends to 0 when $\mathit{\lambda }\to 0$, in any dimension $\mathit{d}\ge 1$. As far as we know, the result is new for $\mathit{d}=2$.

We prove this by showing that, for high enough density and small enough sleep rate, the stabilization time of the model on the d-dimensional torus is exponentially large. To do so, we fix the the set of sites where the particles eventually fall asleep, which reduces the problem to a simpler model with density one. Taking advantage of the Abelian property of the model, we show that the stabilization time stochastically dominates the escape time of a one-dimensional random walk with a negative drift. We then check that this slow phase for the finite volume dynamics implies the existence of an active phase on the infinite lattice.

Nous démontrons que la densité critique du modèle des Marches Aléatoires Activées sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ est strictement inférieure à 1 quand le taux d’endormissement λ est suffisamment petit, et tend vers 0 quand $\mathit{\lambda }\to 0$, en toute dimension $\mathit{d}\ge 1$. À notre connaissance, le résultat est nouveau pour $\mathit{d}=2$.

Nous obtenons ce résultat en prouvant que, pour une densité suffisamment élevée et un taux d’endormissement suffisamment petit, le temps de stabilisation du modèle sur le tore en dimension d est exponentiellement grand. Pour cela, nous fixons l’ensemble des sites sur lesquels les particules s’endorment, ce qui réduit le problème à un modèle plus simple avec densité 1. En utilisant la propriété d’Abélianité du modèle, nous montrons que le temps de stabilisation domine stochastiquement le temps d’atteinte de 0 pour une marche aléatoire en dimension 1 avec une dérive négative. Nous vérifions ensuite que cette phase de stabilisation lente pour la dynamique en volume fini implique l’existence d’une phase active sur le réseau infini.