Martingale solutions to the stochastic thin-film equation in two dimensions

Abstract

We construct solutions to the stochastic thin-film equation with quadratic mobility and Stratonovich gradient noise in the physically relevant dimension $\mathit{d}=2$ and allow in particular for solutions with non-full support. The construction relies on a Trotter–Kato time-splitting scheme, which was recently employed in $\mathit{d}=1$. The additional analytical challenges due to the higher spatial dimension are overcome using α-entropy estimates and corresponding tightness arguments.

Nous construisons des solutions de l’équation aux dérivées partielles stochastique des couches minces avec une mobilité quadratique et un forçage stochastique gradient de type Stratonovich en dimension $\mathit{d}=2$, physiquement pertinente. Les solutions à support non plein sont autorisées. La construction repose sur une méthode de Trotter–Kato en fractionnant l’intervalle de temps, récemment utilisée dans le cas $\mathit{d}=1$. Les difficultés supplémentaires, dues à la dimension spatiale supérieure, sont surmontées à l’aide d’estimations de l’α-entropie et d’arguments de tension correspondants.