Entropy inequalities for random walks and permutations

Abstract

We consider a new functional inequality controlling the rate of relative entropy decay for random walks, the interchange process and more general block-type dynamics for permutations. The inequality lies between the classical logarithmic Sobolev inequality and the modified logarithmic Sobolev inequality, roughly interpolating between the two as the size of the blocks grows. Our results suggest that the new inequality may have some advantages with respect to the latter well known inequalities when multi-particle processes are considered. We prove a strong form of tensorization for independent particles interacting through synchronous updates. Moreover, for block dynamics on permutations we compute the optimal constants in all mean field settings, namely whenever the rate of update of a block depends only on the size of the block. Along the way we establish the independence of the spectral gap on the number of particles for these mean field processes. As an application of our entropy inequalities we prove a new subadditivity estimate for permutations, which implies a sharp upper bound on the permanent of arbitrary matrices with nonnegative entries, thus resolving a well known conjecture.

On considère une nouvelle inégalité fonctionnelle contrôlant le taux de décroissance de l’entropie relative de marche aléatoire, processus d’échange ou plus généralement, de dynamique en bloc pour les permutations. Cette inégalité se situe entre l’inégalité logarithmique de Sobolev classique et l’inégalité logarithmique de Sobolev modifiée, interpolant les deux lorsque la taille des blocs augmente. Notre résultat suggère que cette nouvelle inégalité pourrait avoir des avantages par rapport à ces dernières dans le cadre de processus à multiples particules. On prouve une forme de tensorisation forte pour des particules indp´endantes à mise à jour synchronisées. De plus, pour toutes les dynamiques en bloc à champ moyen, quand les taux d’actualisation dépendent uniquement de la taille des blocs, on établit la constante optimale. Au passage, on prouve aussi l’indépendance du trou spectral par rapport au nombre de particules. En application de notre inégalité entropique, on prouve une estimée de sous-additivité pour les permutations, impliquant une borne supérieure optimale pour le permanent de matrices non negatives arbitraire, ce qui résout une conjecture bien connue.