Variability of paths and differential equations with BV-coefficients

Abstract

We define compositions $\mathit{\phi }(\mathit{X})$ of Hölder paths X in ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ and functions of bounded variation φ under a relative condition involving the path and the gradient measure of φ. We show the existence and properties of generalized Lebesgue–Stieltjes integrals of compositions $\mathit{\phi }(\mathit{X})$ with respect to a given Hölder path Y. These results are then used, together with Doss’ transform, to obtain existence and, in a certain sense, uniqueness results for differential equations in ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ driven by Hölder paths and involving coefficients of bounded variation. Examples include equations with discontinuous coefficients driven by paths of two-dimensional fractional Brownian motions.

Nous définissons les compositions $\mathit{\phi }(\mathit{X})$ de trajectoires Hölder X dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ et les fonctions de variation bornée φ sous une condition relative qui fait intervenir la trajectoire et la mesure de gradient de φ. Nous montrons l’existence et les propriétés des intégrales généralisées de Lebesgue–Stieltjes des compositions de $\mathit{\phi }(\mathit{X})$ par rapport à un trajectoire donnée de Hölder Y. Ces résultats sont ensuite utilisés, ensemble avec la transformation de Doss, pour obtenir des résultats d’existence et d’unicité pour des équations différentielles dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{n}}$ conduites par des trajectoires Hölder et avec des coefficients de variation bornée. Les exemples incluent des équations avec des coefficients discontinus conduits par des trajectoires de mouvement brownien fractionnaire à deux dimensions.