Empirical measures and random walks on compact spaces in the quadratic Wasserstein metric

Abstract

Estimating the rate of convergence of the empirical measure of an i.i.d. sample to the reference measure is a classical problem in probability theory. Extending recent results of Ambrosio, Stra and Trevisan on 2-dimensional manifolds, in this paper we prove sharp asymptotic and nonasymptotic upper bounds for the mean rate in the quadratic Wasserstein metric ${\mathit{W}}_2$ on a d-dimensional compact Riemannian manifold. Under a smoothness assumption on the reference measure, our bounds match the classical rate in the optimal matching problem on the unit cube due to Ajtai, Komlós, Tusnády and Talagrand. The i.i.d. condition is relaxed to stationary samples with a mixing condition. As an example of a nonstationary sample, we also consider the empirical measure of a random walk on a compact Lie group. Surprisingly, on semisimple groups random walks attain almost optimal rates even without a spectral gap assumption. The proofs are based on Fourier analysis, and in particular on a Berry–Esseen smoothing inequality for ${\mathit{W}}_2$ on compact manifolds, a result of independent interest with a wide range of applications.

Estimer la vitesse de convergence de la mesure empirique d’un échantillon i.i.d. vers la mesure de référence est un problème classique en théorie des probabilités. Dans cet article, nous étendons des résultats récents d’Ambrosio, Stra et Trevisan sur les variétés riemanniennnes de dimension 2, et prouvons des bornes supérieures optimales, à la fois asymptotiques et non-asymptotiques, pour la vitesse moyenne selon la distance de Wasserstein quadratique ${\mathit{W}}_2$ sur une variété riemannienne compacte de dimension d. En supposant que la mesure de référence est suffisamment lisse, nos bornes coïncident avec la vitesse de convergence classique pour le problème d’appariement optimal sur le cube unité, dû à Ajtai, Komlós, Tusnády et Talagrand. Nous remplaçons l’hypothèse i.i.d. par celle plus faible d’échantillons stationnaires satisfaisant une condition de mélange. Comme exemple d’échantillon non-stationnaire, nous considérons aussi la mesure empirique d’une marche aléatoire sur un groupe de Lie compact. Étonnamment, pour les groupes semi-simples, les marches aléatoires atteignent des vitesses de convergence presque optimales, même sans hypothèse de trou spectral. Les preuves sont basées sur de l’analyse de Fourier, et en particulier sur une inégalité de lissage de Berry–Esseen pour ${\mathit{W}}_2$ sur des variétés riemanniennes compactes, un résultat qui est intéressant en lui-même et possède un grand nombre d’applications.