Core size of a random partition for the Plancherel measure

Abstract

We prove that the size of the e-core of a partition chosen under the Poissonised Plancherel measure converges in distribution to, as the Poisson parameter goes to $\mathbf{+}\infty$ and after a suitable renormalisation, a sum of $\mathit{e}-1$ mutually independent Gamma distributions with explicit parameters. Such a result already exists for the uniform measure on the set of partitions of n as n goes to $\mathbf{+}\infty$, the parameters of the Gamma distributions being all equal. We rely on the fact that the descent set of a partition is a determinantal point process under the Poissonised Plancherel measure and on a central limit theorem for such processes.

Nous montrons que la taille du e-cœur d’une partition tirée selon la mesure de Plancherel poissonisée converge en distribution, quand le paramètre de Poisson tend vers $\mathbf{+}\infty$ et après renormalisation, vers une somme de $\mathit{e}-1$ variables Gamma indépendentes avec des paramètres explicites. Un tel résultat existe dans la littérature pour la loi uniforme sur les partitions de n quand n tend vers $\mathbf{+}\infty$, les paramètres des lois Gamma étant tous égaux. La preuve repose sur le fait que l’ensemble de descentes d’une partition est un processus ponctuel déterminantal sous la mesure de Plancherel poissonisée et sur l’utilisation d’un théorème central limite pour de tels processus.