Lyapunov exponents of the SHE under general initial data

Abstract

We consider the $(1+1)$-dimensional stochastic heat equation (SHE) with multiplicative white noise and the Cole-Hopf solution of the Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation. We show an exact way of computing the Lyapunov exponents of the SHE for a large class of initial data which includes any bounded deterministic positive initial data and the stationary initial data. As a consequence, we derive exact formulas for the upper tail large deviation rate functions of the KPZ equation for general initial data.

Nous considérons l’équation de chaleur stochastique (SHE) de dimension $(1+1)$ avec bruit blanc multiplicatif et la solution de Cole-Hopf de l’équation de Kardar–Parisi–Zhang. Nous montrons une manière exacte de calculer les exposants de Lyapunov du SHE pour une grande classe de données initiales qui inclut toutes les données initiales positives déterministes bornées et les données initiales stationnaires. En conséquence, nous déduisons des formules exactes pour les fonctions de taux de grande déviation de la queue supérieure de l’équation KPZ pour les données initiales générales.