Large deviation principle for the intersection measure of Brownian motions on unbounded domains

Abstract

Consider the intersection measure ${\ell }_{\mathit{t}}^{\mathrm{IS}}$ of p independent Brownian motions on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. We prove the large deviation principle for the normalized intersection measure ${\mathit{t}}^{-\mathit{p}}{\ell }_{\mathit{t}}^{\mathrm{IS}}$ as $\mathit{t}\to \infty$, before exiting a (possibly unbounded) domain $\mathit{D}\subset {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ with smooth boundary. This is an extension of the result of König and Mukherjee [Comm. Pure Appl. Math. 66 (2013) 263–306] which deals with the case D is bounded. The essential contribution of this paper is to prove the so-called super-exponential estimate for the intersection measure of killed Brownian motions on such D by an application of the Chapman–Kolmogorov relation. As a consequence, the new argument in this paper gives not only an extension to unbounded domains but also a simpler proof even for bounded domains.

Nous considérons la mesure d’intersection ${\ell }_{\mathit{t}}^{\mathrm{IS}}$ de p mouvements browniens indépendants sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. Nous prouvons un principe de grande déviation pour la mesure d’intersection normalisée ${\mathit{t}}^{-\mathit{p}}{\ell }_{\mathit{t}}^{\mathrm{IS}}$ lorsque t tend vers l’infini, avant de sortir d’un domaine $\mathit{D}\subset {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ (qui peut être non borné) avec une frontière lisse. Ce travail généralise [Comm. Pure Appl. Math. 66 (2013) 263–306] dans lequel D est borné. La contribution essentielle de cet article est de prouver, par une application de la relation de Chapman–Kolmogorov, une estimation sur-exponentielle pour la mesure d’intersection des mouvements browniens tués sur un tel D. Ce nouvel argument apporte aussi une preuve plus simple dans le cas des domaines bornés.