Diffusive limits of two-parameter ordered Chinese Restaurant Process up-down chains

Abstract

We construct a two-parameter family of Feller diffusions on the set of open subsets of $(0,1)$ that arise as diffusive limits of two-parameter ordered Chinese Restaurant Process up-down chains. The diffusions we construct are natural ordered analogues of Petrov’s two-parameter extension of Ethier and Kurtz’s infinitely-many-neutral-alleles diffusion model. Recently, there has been significant interest in ordered analogues of the diffusions Petrov constructed. Existing methods for constructing such processes have been based on pathwise methods using marked Lévy processes and an outstanding conjecture about these processes is that they are, in fact, the diffusive limit of the ordered Chinese Restaurant Process up-down chains that we consider here. We make progress on this conjecture by showing that the diffusive limit of the ordered Chinese Restaurant Process up-down chains exists. Moreover, our methods yield a simple, explicit description of the generator of the limiting processes on a core described in terms of quasisymmetric functions.

Nous construisons une famille de diffusions de Feller à deux paramètres sur l’ensemble des sous-ensembles ouverts de (0, 1). Ces diffusions apparaissent comme les limites diffusives des chaînes ascendantes et descendantes du processus du restaurant chinois à deux paramètres. Les diffusions que nous construisons sont des analogues ordonnés naturels de l’extension à deux paramètres, introduite par Petrov, du modèle de diffusion avec un nombre infini d’allèles neutres considéré par Ethier et Kurtz. Récemment, il y a eu un intérêt significatif pour les analogues ordonnés des diffusions construites par Petrov. Les méthodes existantes pour construire de tels processus utilisent des processus de Lévy marqués. Il a été conjecturé que ces processus sont la limite diffusive des chaînes ascendantes et descendantes du processus de restauration chinois ordonné que nous considérons ici. Nous progressons sur cette conjecture en montrant que la limite diffusive de ces chaînes ordonnées du processus du restaurant chinois existe. De plus, nos méthodes donnent une description simple et explicite du générateur des processus limites sur un noyau décrit en termes de fonctions quasi-symétriques.