Cutoff for permuted Markov chains

Abstract

Let P be a bistochastic matrix of size n, and Π be a permutation matrix of size n. In this paper, we are interested in the mixing time of the Markov chain whose transition matrix is given by $\mathit{Q}=\mathit{P}\mathrm{\Pi }$. In other words, the chain alternates between random steps governed by P and deterministic steps governed by Π. We show that if the permutation Π is chosen uniformly at random, then under mild assumptions on P, with high probability, the chain Q exhibits cutoff at time $\frac{log\mathit{n}}{\mathbf{h}}$, where h is the entropic rate of P. Moreover, for deterministic permutations, we improve the upper bound on the mixing time obtained by Chatterjee and Diaconis (Probab. Theory Related Fields 178 (2020) 1193–1214).

Soit P une matrice bistochastique de taille n, et Π une matrice de permutation de taille n. Dans cet article, nous nous intéressons au temps de mélange de la chaîne de Markov dont la matrice de transition est donnée par $\mathit{Q}=\mathit{P}\mathrm{\Pi }$. En d’autres termes, la chaîne alterne entre des sauts aléatoires gouvernés par P et des sauts déterministes gouvernés par Π. Nous montrons que si la permutation Π est choisie uniformément au hasard, alors, sous de légères hypothèses sur P, avec grande probabilité, la chaîne Q présente un cutoff au temps $\frac{log\mathit{n}}{\mathbf{h}}$, où h est le taux entropique de P. De plus, pour des permutations déterministes, nous améliorons la borne supérieure sur le temps de mélange obtenue par Chatterjee and Diaconis (Probab. Theory Related Fields 178 (2020) 1193–1214).