Busemann process and semi-infinite geodesics in Brownian last-passage percolation

Abstract

We prove the existence of semi-infinite geodesics for Brownian last-passage percolation (BLPP). Specifically, on a single event of probability one, there exist semi-infinite geodesics started from every space-time point and traveling in every asymptotic direction. Properties of these geodesics include uniqueness for a fixed initial point and direction, non-uniqueness for fixed direction but random initial points, and coalescence of all geodesics traveling in a common, fixed direction. Along the way, we prove that for fixed northeast and southwest directions, there almost surely exist no bi-infinite geodesics in the given directions. The semi-infinite geodesics are constructed from Busemann functions. Our starting point is a result of Alberts, Rassoul-Agha and Simper that established Busemann functions for fixed points and directions. Out of this, we construct the global process of Busemann functions simultaneously for all initial points and directions, and then the family of semi-infinite Busemann geodesics. The uncountable space of the semi-discrete setting requires extra consideration and leads to new phenomena, compared to discrete models.

Nous prouvons l’existence de géodésiques semi-infinies pour la percolation brownienne de dernier passage (BLPP). Plus précisément, sur un seul événement de probabilité 1, il existe des géodésiques semi-infinies partant de chaque point d’espace-temps et voyageant dans toutes les directions asymptotiques. Les propriétés de ces géodésiques comprennent l’unicité pour un point et une direction initiaux fixes, la non-unicité pour une direction fixe mais des points initiaux aléatoires, et la coalescence de toutes les géodésiques se déplaçant dans une direction fixe commune. En cours de route, nous prouvons que pour les directions fixes nord-est et sud-ouest, il n’existe presque sûrement pas de géodésiques bi-infinies dans les directions données. Les géodésiques semi-infinies sont construites à partir des fonctions de Busemann. Notre point de départ est le résultat d’Alberts, Rassoul-Agha et Simper qui ont établi des fonctions Busemann pour des points et directions fixes. À partir de là, nous construisons le processus global des fonctions de Busemann simultanément pour tous les points et directions initiaux, puis la famille des géodésiques de Busemann semi-infinies. L’espace indénombrable du cadre semi-discret nécessite une considération supplémentaire et conduit à de nouveaux phénomènes, par rapport aux modèles discrets.