A simplified second-order Gaussian Poincaré inequality in discrete setting with applications

Abstract

In this paper, a simplified second-order Gaussian Poincaré inequality for normal approximation of functionals over infinitely many Rademacher random variables is derived. It is based on a new bound for the Kolmogorov distance between a general Rademacher functional and a Gaussian random variable, which is established by means of the discrete Malliavin–Stein method and is of independent interest. As an application, the number of vertices with prescribed degree and the subgraph counting statistic in the Erdős–Rényi random graph are discussed. The number of vertices of fixed degree is also studied for percolation on the Hamming hypercube. Moreover, the number of isolated faces in the Linial–Meshulam–Wallach random κ-complex and infinite weighted 2-runs are treated.

Dans cet article, une inégalité de Poincaré gaussienne simplifiée du second ordre pour l’approximation normale de fonctionnelles sur une infinité de variables aléatoires de Rademacher est obtenue. Elle est basée sur une nouvelle limite pour la distance de Kolmogorov entre une fonction générale de Rademacher et une variable gaussienne, qui est établie au moyen de la méthode discrète de Malliavin–Stein et qui présente un intérêt indépendant. Comme application, le nombre de sommets de degré prescrit et la statistique de comptage des sous-graphes dans le graphe aléatoire d’Erdős–Rényi sont discutés. Le nombre de sommets de degré fixé est également étudié pour la percolation sur l’hypercube de Hamming. De plus, le nombre de faces isolées dans le κ-complexe aléatoire de Linial–Meshulam–Wallach et les succès consécutifs pondérés infinis sont examinés.