A functional stable limit theorem for Gibbs–Markov maps

Abstract

For a class of locally (but not necessarily uniformly) Lipschitz continuous d-dimensional observables over a Gibbs–Markov system, we show that convergence of (suitably normalized and centered) ergodic sums to a non-Gaussian stable vector is equivalent to the distribution belonging to the classical domain of attraction, and that it implies a weak invariance principle in the (strong) Skorohod ${\mathcal{J}}_1$-topology on $\mathcal{D}([0,\infty ),{\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$. The argument uses the classical approach via finite-dimensional marginals and ${\mathcal{J}}_1$-tightness. As applications, we record a Spitzer-type arcsine law for certain $\mathbb{Z}$-extensions of Gibbs–Markov systems, and prove an asymptotic independence property of excursion processes of intermittent interval maps.

Pour une classe d’observables d-dimensionnelles localement (mais pas nécessairement uniformément) Lipschitz sur un système Gibbs–Markov, nous montrons que la convergence des sommes ergodiques (convenablement centrées et normalisées) vers un vecteur aléatoire de loi stable non gaussienne est équivalente au fait que la distribution appartient au domaine d’attraction classique. Dans ce cas nous montrons aussi un principe d’invariance faible dans la topologie forte de Skorohod ${\mathcal{J}}_1$ sur $\mathcal{D}([0,\infty ),{\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$. L’argument utilise l’approche classique via les lois marginales de dimension finie et la tension de la suite dans le bon espace. Comme applications, nous démontrons une loi arcsinus à la Spitzer pour certaines $\mathbb{Z}$-extensions des systèmes Gibbs–Markov, ainsi qu’une propriété d’indépendance asymptotique des processus d’excursion de certaines applications intermittentes de l’intervalle.