Typicality and entropy of processes on infinite trees

Abstract

Consider a uniformly sampled random d-regular graph on n vertices. If d is fixed and n goes to ∞ then we can relate typical (large probability) properties of such random graph to a family of invariant random processes (called “typical” processes) on the infinite d-regular tree ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. This correspondence between ergodic theory on ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$ and random regular graphs is already proven to be fruitful in both directions. This paper continues the investigation of typical processes with a special emphasis on entropy. We study a natural notion of micro-state entropy for invariant processes on ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. It serves as a quantitative refinement of the notion of typicality and is tightly connected to the asymptotic free energy in statistical physics. Using entropy inequalities, we provide new sufficient conditions for typicality for edge Markov processes. We also extend these notions and results to processes on unimodular Galton–Watson random trees.

On considère un graphe d-régulier aléatoire avec n sommets uniformément distribué. Si d est fixé et n tend vers l’infini, nous pouvons alors relier les propriétés typiques (de grande probabilité) d’un tel graphe aléatoire avec une famille de processus aléatoires invariants (dénommés processus “typiques”) sur l’arbre d-régulier infini ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. Cette correspondance entre théorie ergodique sur ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$ et graphes réguliers aléatoires s’est déjà révélée fructueuse dans les deux directions. Ce papier poursuit l’investigation des processus typiques avec un accent mis sur l’entropie. Nous y étudions une notion naturelle d’entropie micro-état pour les processus invariants sur ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}$. Elle sert de raffinement quantitatif à la notion de typicalité et elle est intimement reliée à l’énergie libre asymptotique en physique statistique. Au moyen d’inégalités entropiques, nous démontrons des nouvelles conditions suffisantes de typicalité pour des processus markoviens sur les arêtes de l’arbre. Nous étendons aussi ces notions et résultats à des processus sur des arbres de Galton–Watson unimodulaires.