Eigenvalues for the minors of Wigner matrices

Abstract

The eigenvalues for the minors of real symmetric ($\mathit{\beta }=1$) and complex Hermitian ($\mathit{\beta }=2$) Wigner matrices form the Wigner corner process, which is a multilevel interlacing particle system. In this paper, we study the microscopic scaling limit of the Wigner corner process both near the spectral edge and in the bulk, and prove they are universal. We show: (i) Near the spectral edge, the corner process exhibit a decoupling phenomenon, as first observed in (Adv. Math. 304 (2017) 90–130). Individual extreme particles have Tracy-Widom_β distribution; the spacings between the extremal particles on adjacent levels converge to independent Gamma distributions in a much smaller scale. (ii) In the bulk, the microscopic scaling limit of the Wigner corner process is given by the bead process for general Sine_β process, as constructed recently in (Probab. Theory Related Fields 179 (2021) 589–647).

Les valeurs propres des mineurs des matrices de Wigner symétriques réelles $(\mathit{\beta }=1)$ et hermitiennes complexes $(\mathit{\beta }=2)$ forment le processus des coins de matrices de Wigner, qui est un système multi-niveaux des particules entrelacées. Dans cet article, nous étudions la limite d’échelle microscopique du processus des coins de matrices de Wigner à la fois près du bord spectral et loin du bord, et prouvons qu’elles sont universelles. Nous montrons : (i) Près du bord spectral, le processus des coins présente un phénomène de découplage, comme observé pour la première fois dans (Adv. Math. 304 (2017) 90–130). Les particules extrémales individuelles ont une distribution Tracy-Widom_β ; les espacements entre les particules extrémales sur les niveaux adjacents convergent vers des distributions gamma indépendantes à une échelle beaucoup plus petite. (ii) Loin du bord, la limite d’échelle microscopique du processus des coins de matrices de Wigner est donnée par le processus des perles pour le processus Sine_β général, tel qu’il a été construit récemment dans (Probab. Theory Related Fields 179 (2021) 589–647).