Continuity of the time constant in a continuous model of first passage percolation

Abstract

For a given dimension $\mathit{d}\ge 2$ and a finite measure ν on $(0,+\infty )$, we consider ξ a Poisson point process on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\times (0,+\infty )$ with intensity measure $\mathit{d}\mathit{c}\otimes \mathit{\nu }$ where $\mathit{d}\mathit{c}$ denotes the Lebesgue measure on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. We consider the Boolean model $\mathrm{\Sigma }={\bigcup }_{(\mathit{c},\mathit{r})\in \mathit{\xi }}\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ where $\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ denotes the open ball centered at c with radius r. For every $\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, we define $\mathit{T}(\mathit{x},\mathit{y})$ as the minimum time needed to travel from x to y by a traveler that walks at speed 1 outside Σ and at infinite speed inside Σ. By a standard application of Kingman’s subadditive theorem, one easily shows that $\mathit{T}(0,\mathit{x})$ behaves like $\mathit{\mu }\Vert \mathit{x}\Vert$ when $\Vert \mathit{x}\Vert$ goes to infinity, where μ is a constant named the time constant in classical first passage percolation. In this paper we investigate the regularity of μ as a function of the measure ν associated with the underlying Boolean model. One of the key results is a uniform control of the length of “nice” geodesics. In the course of the proof, we need a continuum analogue of the BK inequality for unions of disjoint occurrences of events.

Etant donnés une dimension $\mathit{d}\ge 2$ et une mesure finie ν sur $(0,+\infty )$, nous considérons ξ un processus ponctuel de Poisson sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\times (0,+\infty )$ de mesure d’intensité $\mathit{d}\mathit{c}\otimes \mathit{\nu }$ où $\mathit{d}\mathit{c}$ désigne la mesure de Lebesgue sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. Nous considérons le modèle booléen $\mathrm{\Sigma }={\bigcup }_{(\mathit{c},\mathit{r})\in \mathit{\xi }}\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ où $\mathit{B}(\mathit{c},\mathit{r})$ désigne la boule ouverte centrée en c et de rayon r. Pour tous $\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, nous définissons $\mathit{T}(\mathit{x},\mathit{y})$ comme le temps minimal nécessaire pour voyager de x à y pour un voyageur qui se déplace à vitesse 1 en dehors de Σ et à vitesse infinie dans Σ. Par une application standard du théorème ergodique sous-additif de Kingman, on peut facilement prouver que $\mathit{T}(0,\mathit{x})$ se comporte comme $\mathit{\mu }\Vert \mathit{x}\Vert$ quand $\Vert \mathit{x}\Vert$ tend vers l’infini, où μ est une constante appelée la constante de temps en percolation de premier passage classique. Dans cet article, nous étudions la régularité de μ comme fonction de la mesure ν associée au modèle booléen sous-jacent. Un des résultats clés est un contrôle uniforme de la longueur de “bonnes” géodésiques. Au cours de la preuve, nous avons recours à un analogue continu de l’inégalité BK pour des unions d’occurrences disjointes d’évènements.