SLE scaling limits for a Laplacian random growth model

Abstract

We consider a model of planar random aggregation from the ALE$(0,\mathit{\eta })$ family where particles are attached preferentially in areas of low harmonic measure. We find that the model undergoes a phase transition in negative η, where for sufficiently large values the attachment distribution of each particle becomes atomic in the small particle limit, with each particle attaching to one of the two points at the base of the previous particle. This complements the result of Sola, Turner and Viklund for large positive η, where the attachment distribution condenses to a single atom at the tip of the previous particle.

As a result of this condensation of the attachment distributions we deduce that in the limit as the particle size tends to zero the ALE cluster converges to a Schramm–Loewner evolution with parameter $\mathit{\kappa }=4$ (SLE${}_4$).

We also conjecture that using other particle shapes from a certain family, we have a similar SLE scaling result, and can obtain SLE${}_{\mathit{\kappa }}$ for any $\mathit{\kappa }\ge 4$.

On considère un modèle d’agrégation planaire aléatoire selon la famille $\mathrm{ALE}(0,\mathit{\eta })$, telle que les particules se rattachent préférentiellement à des régions de petites mesures harmoniques. On montre que le modèle exhibe une transition de phases pour des η négatifs, où pour les valeurs suffisamment grandes, la loi du rattachement de chaque particule devient atomique dans la limite des petites particules, et chaque particule est rattachée à une des deux points à la base de la particule précédente. Ceci complète le résultat de Sola, Turner et Viklund pour les grands η positifs, où la loi du rattachement se concentre en l’atome unique à l’extrémité de la particule précédente.

Comme conséquence de cette condensation de la loi du rattachement, nous déduisons que quand la taille de particule tend vers zéro, l’amas ALE converge vers à une évolution de Schramm–Loewner de paramètre $\mathit{\kappa }=4$ (SLE${}_4$).

Nous conjecturons aussi qu’en utilisant d’autres formes de particules appartenant à une certaine famille, nous obtiendrons un résultat similaire de renormalisation vers un SLE${}_{\mathit{\kappa }}$ pour tout $\mathit{\kappa }\ge 4$.