Precise large deviation estimates for branching process in random environment

Abstract

We consider a branching process in random environment ${\{{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}\}}_{\mathit{n}\ge 0}$, which is a population growth process where individuals reproduce independently of each other with the reproduction law randomly picked at each generation. We describe precise asymptotics of upper large deviations, i.e. $\mathbb{P}[{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}>{\mathit{e}}^{\mathit{\rho }\mathit{n}}]$. Moreover in the subcritical case, under the Cramér condition on the mean of the reproduction law, we investigate large deviation estimates for the first passage times of the branching process in question and of its total population size.

Nous considérons un processus de branchement dans un environnement aléatoire ${\{{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}\}}_{\mathit{n}\ge 0}$, qui est le processus de croissance d’une population où les individus se reproduisent indépendamment les uns des autres avec la loi de reproduction choisie au hasard à chaque génération. Nous décrivons des asymptotiques précises des grandes déviations supérieures, c’est-à-dire de $\mathbb{P}[{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}>{\mathit{e}}^{\mathit{\rho }\mathit{n}}]$. De plus dans le cas sous-critique, sous la condition de Cramér pour la moyenne de la loi de reproduction, nous étudions les estimations des grandes déviations pour le premier temps de passage de ce processus de branchement et de la taille totale de sa population.