Deterministic homogenization under optimal moment assumptions for fast-slow systems. Part 1

Abstract

We consider deterministic homogenization (convergence to a stochastic differential equation) for multiscale systems of the form

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}={\mathit{x}}_{\mathit{k}}+{\mathit{n}}^{-1}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{y}}_{\mathit{k}})+{\mathit{n}}^{-1/2}{\mathit{b}}_{\mathit{n}}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{y}}_{\mathit{k}}),{\mathit{y}}_{\mathit{k}+1}={\mathit{T}}_{\mathit{n}}{\mathit{y}}_{\mathit{k}},$$

where the fast dynamics is given by a family ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ of nonuniformly expanding maps. Part 1 builds on our recent work on martingale approximations for families of nonuniformly expanding maps. We prove an iterated weak invariance principle and establish optimal iterated moment bounds for such maps. (The iterated moment bounds are new even for a fixed nonuniformly expanding map T.) The homogenization results are a consequence of this together with parallel developments on rough path theory in Part 2 by Chevyrev, Friz, Korepanov, Melbourne and Zhang.

Nous étudions un problème d’homogénéisation déterministe (avec convergence vers une équation différentielle stochastique) pour un système multi-échelle de la forme suivante :

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}={\mathit{x}}_{\mathit{k}}+{\mathit{n}}^{-1}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{y}}_{\mathit{k}})+{\mathit{n}}^{-1/2}{\mathit{b}}_{\mathit{n}}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{y}}_{\mathit{k}}),{\mathit{y}}_{\mathit{k}+1}={\mathit{T}}_{\mathit{n}}{\mathit{y}}_{\mathit{k}},$$

où la dynamique rapide est donnée par une famille ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ de transformations non uniformément dilatantes. La partie 1 prolonge nos travaux récents sur l’approximation par des martingales pour des familles de transformations non uniformément dilatantes. Nous montrons un principe d’invariance faible itéré, et établissons des bornes optimales sur les moments dans ce cadre (ces bornes sont nouvelles même pour une transformation non uniformément dilatante T fixée). En combinant ceci et des développements parallèles sur la théorie des chemins rugueux par Chevyrev, Friz, Korepanov, Melbourne et Zhang, nous obtenons les résultats d’homogénéisation dans la partie 2.