Weak convergence of the intersection point process of Poisson hyperplanes

Abstract

This paper deals with the intersection point process of a stationary and isotropic Poisson hyperplane process in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ of intensity $\mathit{t}>0$, where only hyperplanes that intersect a centred ball of radius $\mathit{R}>0$ are considered. Taking $\mathit{R}={\mathit{t}}^{-\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}+1}}$ it is shown that this point process converges in distribution, as $\mathit{t}\to \infty$, to a Poisson point process on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\setminus \{0\}$ whose intensity measure has power-law density proportional to $\Vert \mathit{x}{\Vert }^{-(\mathit{d}+1)}$ with respect to the Lebesgue measure. A bound on the speed of convergence in terms of the Kantorovich–Rubinstein distance is provided as well. In the background is a general functional Poisson approximation theorem on abstract Poisson spaces. Implications on the weak convergence of the convex hull of the intersection point process and the convergence of its f-vector are also discussed, disproving and correcting thereby a conjecture of Devroye and Toussaint (J. Algorithms 14 (1993) 381–394) in computational geometry.

Cet article traite du processus ponctuel d’intersection d’un processus d’hyperplans de Poisson stationnaire et isotrope dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ d’intensité $\mathit{t}>0$, où seuls les hyperplans qui intersectent une boule centrée de rayon $\mathit{R}>0$ sont considérés. En prenant $\mathit{R}={\mathit{t}}^{-\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}+1}}$, on montre que ce processus ponctuel converge en distribution, lorsque $\mathit{t}\to \infty$, vers un processus ponctuel de Poisson dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}\setminus \{0\}$ dont la mesure d’intensité a une densité proportionnelle à $\Vert \mathit{x}{\Vert }^{-(\mathit{d}+1)}$ par rapport à la mesure de Lebesgue. Une borne sur la vitesse de convergence en termes de distance de Kantorovich–Rubinstein est également fournie. En arrière-plan se trouve un théorème général d’approximation de Poisson fonctionnel sur les espaces de Poisson abstraits. Les implications sur la convergence faible de l’enveloppe convexe du processus de point d’intersection et la convergence de son vecteur f sont également discutées, réfutant et corrigeant ainsi une conjecture de Devroye et Toussaint (J. Algorithms 14 (1993) 381–394) en géométrie computationelle.