Two-dimensional Lorentz process for magnetotransport: Boltzmann-Grad limit

Abstract

We study a system of charged, noninteracting classical particles moving in a Poisson distribution of hard-disk scatterers in two dimensions, under the effect of a magnetic field perpendicular to the plane. We prove that, in the low-density (Boltzmann-Grad) limit, the particle distribution evolves according to a generalized linear Boltzmann equation, previously derived and solved by Bobylev et al. (Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 2, J. Stat. Phys. 87 (1997) 1205–1228, J. Stat. Phys. 102 (2001) 1133–1150). In this model, Boltzmann’s chaos fails, and the kinetic equation includes non-Markovian terms. The ideas of (Phys. Rev. 185 (1969) 308–322) can be however adapted to prove convergence of the process with memory.

Nous étudions un système de particules classiques chargées, sans interaction, se déplaçant dans une distribution de Poisson de disques durs en deux dimensions, sous l’effet d’un champ magnétique perpendiculaire au plan. Nous montrons que, dans la limite de faible densité (Boltzmann-Grad), la distribution des particules évolue selon une équation de Boltzmann linéaire généralisée, déjà obtenue et résolue par Bobylev et al. (Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 2, J. Stat. Phys. 87 (1997) 1205–1228, J. Stat. Phys. 102 (2001) 1133–1150). Dans ce modèle, le chaos de Boltzmann n’est pas vérifié et l’équation cinétique inclut des termes non markoviens. Les idées de (Phys. Rev. 185 (1969) 308–322) peuvent cependant être adaptées pour prouver la convergence du processus avec mémoire.