Spectral gap and cutoff phenomenon for the Gibbs sampler of ∇φ interfaces with convex potential

Abstract

We consider the Gibbs sampler, or heat bath dynamics associated to log-concave measures on ${\mathbb{R}}^{\mathit{N}}$ describing $\nabla \mathit{\phi }$ interfaces with convex potentials. Under minimal assumptions on the potential, we find that the spectral gap of the process is always given by ${\mathrm{gap}}_{\mathit{N}}=1-cos(\mathit{\pi }/\mathit{N})$, and that for all $\mathit{ϵ}\in (0,1)$, its ϵ-mixing time satisfies ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}(\mathit{ϵ})\sim \frac{log\mathit{N}}{2{\mathrm{gap}}_{\mathit{N}}}$ as $\mathit{N}\to \infty$, thus establishing the cutoff phenomenon. The results reveal a universal behavior in that they do not depend on the choice of the potential.

Nous considérons l’échantillonneur de Gibbs, aussi appelé dynamique “heat bath”, associé à des mesures log-concaves sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{N}}$ et décrivant des interfaces $\nabla \mathit{\phi }$ avec potentiels convexes. Sous des hypothèses minimales sur le potentiel, nous montrons que le trou spectral du processus est toujours donné par ${\mathrm{gap}}_{\mathit{N}}=1-cos(\mathit{\pi }/\mathit{N})$, et que pour tout $\mathit{ϵ}\in (0,1)$, le temps de mélange de seuil ϵ satisfait ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}(\mathit{ϵ})\sim \frac{log\mathit{N}}{2{\mathrm{gap}}_{\mathit{N}}}$ quand $\mathit{N}\to \infty$, ce qui établit un phénomène de cutoff. Ces résultats exhibent un comportement universel, en ce qu’ils ne dépendent pas du potentiel choisi.