On the explosion of the number of fragments in simple exchangeable fragmentation-coagulation processes

Abstract

We consider the exchangeable fragmentation-coagulation (EFC) processes, where the coagulations are multiple and not simultaneous, as in a Λ-coalescent, and the fragmentations dislocate at finite rate an individual block into sub-blocks of infinite size. Sufficient conditions are found for the block counting process to explode (i.e. to reach ∞) or not and for ∞ to be either an exit boundary or an entrance boundary. In a case of regularly varying fragmentation and coagulation mechanisms, we find regimes where the boundary ∞ can be either an exit, an entrance or a regular boundary. In the latter regular case, the EFC process leaves instantaneously the set of partitions with an infinite number of blocks and returns to it immediately. Our proofs are based on a new sufficient condition of explosion for positive continuous-time Markov chains, which is of independent interest.

Nous considérons les processus de fragmentation-coagulation échangeables (EFC), où les coagulations sont multiples et non simultanées, comme dans un Λ-coalescent, et où les fragmentations disloquent à taux fini un bloc individuel en sous-blocs de taille infinie. Des conditions suffisantes sont trouvées pour que le processus du nombre de blocs explose (c’est-à-dire atteigne l’infini) ou non et pour que l’infini soit une frontière de sortie ou une frontière d’entrée. Lorsque les mécanismes de fragmentation et de coagulation satisfont une hypothèse de variation régulière, nous trouvons des régimes où la frontière ∞ peut être une sortie, une entrée ou un point régulier. Dans ce dernier cas régulier, le processus EFC quitte instantanément l’ensemble des partitions avec un nombre infini de blocs et y revient immédiatement. Nos preuves sont basées sur une nouvelle condition suffisante d’explosion pour les chaînes de Markov positives en temps continu, laquelle peut avoir un intérêt indépendant.