Intrinsic area near the origin for self-similar growth-fragmentations and related random surfaces

Abstract

We study the behaviour of a natural measure defined on the leaves of the genealogical tree of some branching processes, namely self-similar growth-fragmentation processes. Each particle, or cell, is attributed a positive mass that evolves in continuous time according to a positive self-similar Markov process and gives birth to children at negative jumps events. We are interested in the asymptotics of the mass of the ball centered at the root, as its radius decreases to 0. We obtain the almost sure behaviour of this mass when the Eve cell starts with a strictly positive size. This differs from the situation where the Eve cell grows indefinitely from size 0. In this case, we show that, when properly rescaled, the mass of the ball converges in distribution towards a non-degenerate random variable. We then derive bounds describing the almost sure behaviour of the rescaled mass. Those results are applied to certain random surfaces, exploiting the connection between growth-fragmentations and random planar maps obtained in (Probab. Theory Related Fields 172 (2018) 663–724). This allows us to extend a result of Le Gall (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 237–313) on the volume of a free Brownian disk close to its boundary, to a larger family of stable disks. The upper bound of the mass of a typical ball in the Brownian map is refined, and we obtain a lower bound as well.

Nous étudions le comportement d’une mesure naturellement définie sur les feuilles de l’arbre généalogique de certains processus de branchement, à savoir les processus de croissance-fragmentation autosimilaires. Chaque particule, ou cellule, possède une masse positive qui évolue dans le temps suivant un processus de Markov autosimilaire positif et donne naissance à des enfants à chaque saut négatif. Nous nous intéressons aux asymptotiques de la masse de la boule centrée sur la racine, lorsque son rayon décroit vers 0. Nous obtenons le comportement presque sûr de cette masse lorsque la cellule Eve démarre avec une taille strictement positive. Cela diffère de la situation ou la cellule Eve croît indéfiniment depuis une taille nulle. Dans ce cas, nous montrons que, proprement renormalisée, la masse de la boule converge en loi vers une variable aléatoire non-dégénérée. Nous déduisons alors des bornes décrivant le comportement presque sûr de la masse remise à l’échelle. Ces résultats sont appliqués à certaines surfaces aléatoires, en exploitant la connexion entre processus de croissance-fragmentation et cartes planaires aléatoires obtenue dans (Probab. Theory Related Fields 172 (2018) 663–724). Cela nous permet d’étendre des résultats de Le Gall (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 237–313) sur le volume du disque Brownien libre proche de sa frontière, à une famille plus grande de disques stables. La borne supérieure de la masse d’une boule typique dans la carte Brownienne est améliorée et nous obtenons une borne inférieure également.