Metastability for systems of interacting neurons

Abstract

We study a stochastic system of interacting neurons and its metastable properties. The system consists of N neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to 0 and all other neurons receive an additional amount $\mathit{h}/\mathit{N}$ of potential. In between successive spike times, each neuron looses potential at exponential speed. We study this system in the supercritical regime, that is, for sufficiently high values of the synaptic weight h. Under very mild conditions on the behavior of the spiking rate function in the vicinity of 0, is has been shown in Duarte and Ost (Markov Process. Related Fields 22 (2016) 37–52) that the only invariant distribution of the finite system is the trivial measure ${\mathit{\delta }}_{\mathbf{0}}$ corresponding to extinction of the process. We strengthen these conditions to prove that for large synaptic weights h, the extinction time arrives at exponentially late times in N, and discuss the stability of the equilibrium ${\mathit{\delta }}_{\mathbf{0}}$ for the non-linear mean-field limit process depending on the parameters of the dynamics. We then specify our study to the case of saturating spiking rates and show that, under suitable conditions on the parameters of the model, (1) the non-linear mean-field limit admits a unique and globally attracting non trivial equilibrium and (2) the rescaled exit times for the mean spiking rate of a finite system from a neighbourhood of the non-linear equilibrium rate converge in law to an exponential distribution, as the system size diverges. In other words, the system exhibits a metastable behavior.

On étudie un système stochastique de neurones en interaction et son caractère métastable. Le système est constitué de N neurones, chacun émettant une décharge aléatoirement à un taux dépendant de son potentiel de membrane. Au moment d’une décharge, le potentiel du neurone est remis à 0 et celui des autres neurones est augmenté d’une valeur $\mathit{h}/\mathit{N}$. Entre deux temps successifs de décharge, le potentiel des neurones décroît à taux constant. On étudie ce système dans un régime surcritique, au sens où la valeur du coefficient synaptique h est suffisamment grande. Sous des conditions peu contraignantes sur le comportement de la fonction du taux de décharge, Duarte et Ost (Markov Process. Related Fields 22 (2016) 37–52) ont démontré que la seule mesure invariante du système de taille finie est la mesure triviale ${\mathit{\delta }}_0$, qui correspond à l’extinction du processus. En considérant des conditions plus restrictives, nous montrons que, pour h suffisamment grand, le temps d’extinction survient à des temps exponentiellement long en N, et nous étudions en fonction des paramètres de la dynamique la stabilité de l’équilibre ${\mathit{\delta }}_0$ pour le processus non-linéaire limite champ moyen. En restreignant ensuite l’étude à des taux de décharge avec saturation, nous établissons des conditions sur les pararamètres du modèle sous lesquelles (1) la limite champ moyen non-linéaire admet un unique équilibre non-trivial qui est globalement attractif, et (2) pour le taux de décharge moyen d’un système de taille finie, le temps de sortie renormalisé d’un voisinage de sa valeur sous l’équilibre non-linéaire converge en loi vers une distribution exponentielle lorsque la taille du système diverge. En d’autres termes, le système exhibe un comportement métastable.