Russo–Seymour–Welsh estimates for the Kostlan ensemble of random polynomials

Abstract

Beginning with the predictions of Bogomolny–Schmit for the random plane wave, in recent years the deep connections between the level sets of smooth Gaussian random fields and percolation have become apparent. In classical percolation theory a key input into the analysis of global connectivity are scale-independent bounds on crossing probabilities in the critical regime, known as Russo–Seymour–Welsh (RSW) estimates. Similarly, establishing RSW-type estimates for the nodal sets of Gaussian random fields is a major step towards a rigorous understanding of these relations.

The Kostlan ensemble is an important model of Gaussian homogeneous random polynomials. The nodal set of this ensemble is a natural model for a ‘typical’ real projective hypersurface, whose understanding can be considered as a statistical version of Hilbert’s 16th problem. In this paper we establish RSW-type estimates for the nodal sets of the Kostlan ensemble in dimension two, providing a rigorous relation between random algebraic curves and percolation. The estimates are uniform with respect to the degree of the polynomials, and are valid on all relevant scales; this, in particular, resolves an open question raised recently by Beffara–Gayet. More generally, our arguments yield RSW estimates for a wide class of Gaussian ensembles of smooth random functions on the sphere or the flat torus.

Partant des prédictions de Bogomolny–Schmit pour les ondes planaires aléatoires, dans les années récentes des relations profondes sont apparues entre les lignes de niveau des champs aléatoires Gaussiens réguliers et la percolation. En théorie de la percolation, un ingrédient clé dans l’analyse de la connectivité globale est la famille des bornes indépendantes en échelle sur les probabilités de croisement dans le régime critique, connues sous le nom d’estimées de Russo–Seymour–Welsh (RSW). De la même façon, établir des estimées du type RSW pour les ensembles nodaux des champs aléatoires Gaussiens est une étape majeure dans la compréhension rigoureuse de ces relations.

L’ensemble de Kostlan est un modèle important de polynômes aléatoires homogènes Gaussiens. L’ensemble nodal des polynômes de Kostlan est un modèle naturel pour une hypersurface projective réelle typique, dont la compréhension peut être vu comme une version statistique du 16ème problème de Hilbert. Dans cet article, nous établissons une estimées du type RSW pour les ensembles nodaux des polynômes de Kostlan en dimension 2, montrant ainsi une relation rigoureuse entre les courbes algébriques aléatoires et la percolation. Les estimées sont uniformes en le degré du polynôme, et sont valables dans toutes les échelles pertinentes ; ceci, en particulier, résout la question posée récemment par Beffara–Gayet. Plus généralement, nos arguments conduisent à des estimées RSW pour une large classe d’ensembles Gaussiens de fonctions régulières aléatoires sur la sphère ou sur le tore plat.