Barak–Erdős graphs and the infinite-bin model

Abstract

A Barak–Erdős graph is a directed acyclic version of the Erdős–Rényi random graph. It is obtained by performing independent bond percolation with parameter p on the complete graph with vertices $\{1,\dots ,\mathit{n}\}$, in which the edge between two vertices $\mathit{i}<\mathit{j}$ is directed from i to j. The length of the longest path in this graph grows linearly with the number of vertices, at rate $\mathit{C}(\mathit{p})$. In this article, we use a coupling between Barak–Erdős graphs and infinite-bin models to provide explicit estimates on $\mathit{C}(\mathit{p})$. More precisely, we prove that the front of an infinite-bin model grows at linear speed, and that this speed can be obtained as the sum of a series. Using these results, we prove the analyticity of C for $\mathit{p}>1/2$, and compute its power series expansion. We also obtain the first two terms of the asymptotic expansion of C as $\mathit{p}\to 0$, using a coupling with branching random walks with selection.

Un graphe de Barak–Erdős est une version dirigée et sans cycle du graphe aléatoire d’Erdős–Rényi. Ce graphe est construit en réalisant une percolation par arêtes de paramètre p sur le graphe complet d’ensemble de sommets $\{1,\dots ,\mathit{n}\}$, tel que l’arête entre deux sommets $\mathit{i}<\mathit{j}$ est orientée de i vers j. La longueur du plus long chemin dans ce graphe croît linéairement avec le nombre n de sommets, à vitesse $\mathit{C}(\mathit{p})$. Dans cet article, nous utilisons un couplage entre le graphe de Barak–Erdős et un modèle infini d’urnes pour obtenir des estimations explicites pour $\mathit{C}(\mathit{p})$. Plus précisément, on montre que le front d’un modèle infini d’urne croît à vitesse linéaire, et que cette vitesse peut être obtenue comme la somme d’une série. Grâce à ces résultats, on montre que la fonction C est analytique pour $\mathit{p}>1/2$, et on obtient son développement en série entière autour de $\mathit{p}=1$. Nous calculons également les deux premiers termes du développement limité de C au voisinage de $\mathit{p}=0$, grâce à un couplage avec des marches aléatoires branchantes avec sélection.