U-bootstrap percolation: Critical probability, exponential decay and applications

Abstract

Bootstrap percolation is a wide class of monotone cellular automata with random initial state. In this work we develop tools for studying in full generality one of the three ‘universality’ classes of bootstrap percolation models in two dimensions, termed subcritical. We introduce the new notion of ‘critical densities’ serving the role of ‘difficulties’ for critical models (Bollobás et al.), but adapted to subcritical ones. We characterise the critical probability in terms of these quantities and successfully apply this link to prove new and old results for concrete models such as DTBP and Spiral as well as a general non-trivial upper bound. Our approach establishes and exploits a tight connection between subcritical bootstrap percolation and a suitable generalisation of classical oriented percolation, which will undoubtedly be the source of more results and could provide an entry point for general percolationists to bootstrap percolation.

Furthermore, we prove that above a certain critical probability there is exponential decay of the probability of a one-arm event, while below it the event has positive probability and the expected infection time is infinite. We also identify this as the transition of the spectral gap and mean infection time of the corresponding kinetically constrained model. Finally, we essentially characterise the noise sensitivity properties at fixed density for the two natural one-arm events.

In doing so we answer fully or partially most of the open questions asked by Balister, Bollobás, Przykucki and Smith (Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016) 7385–7411) – namely we are concerned with their Questions 11, 12, 13, 14 and 17.

La percolation bootstrap constitue une classe étendue d’automates cellulaires aux conditions initiales aléatoires. Dans ce travail on développe des outils pour étudier en toute généralité l’une des trois classes « d’universalité » de modèles de percolation bootstrap en deux dimensions appelée souscritique. On introduit la nouvelle notion de « densités critiques » qui jouent le rôle des « difficultés » pour les modèles critiques (Bollobás et al.), mais adaptée aux modèles souscritiques. On charactérise la probabilité critique en termes de ces quantités et on emploie ce lien pour démontrer de résultats nouveaux et d’autres déjà connus sur des modèles concrets tels que DTBP et Spiral, aussi bien qu’une borne supérieure non-triviale générale. Notre approche établit et exploite un lien étroit entre la percolation bootstrap souscritique et une généralisation convenable de la percolation orientée classique, qui ne manquera pas à servir davantage et pourrait constituer un point d’entrée dans la percolation bootstrap pour les percolationistes généraux.

De plus, on montre qu’au dessus d’une certaine probabilité critique il y a décroissance exponentielle de la probabilité d’un évènement à un bras, tandis qu’en dessous l’évènement a une probabilité positive et le temps d’infection moyen est infini. On identifie cette transition comme celle du trou spectral et du temps d’infection moyen du modèle cinétiquement contraint associé. Enfin, on caractérise essentiellement les propriétés de sensibilité au bruit à densité fixée pour les deux évènements à un bras naturels.

En ce faisant, on apporte une réponse complète ou partielle aux questions ouvertes posées par Balister, Bollobás, Przykucki et Smith (Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016) 7385–7411), notamment leurs Questions 11, 12, 13, 14 et 17.