On a stochastic representation theorem for Meyer-measurable processes

Abstract

In this paper we study a representation problem first considered in a simpler version by Bank and El Karoui (Ann. Probab. 32 (2004) 1030–1067). A key ingredient to this problem is a random measure μ on the time axis which in the present paper is allowed to have atoms. Such atoms turn out to not only pose serious technical challenges in the proof of the representation theorem, but actually have significant meaning in its applications, for instance, to irreversible investment problems. These applications also suggest to study the problem for processes which are measurable with respect to a Meyer-σ-field that lies between the predictable and the optional σ-field. Technically, our proof amounts to a delicate analysis of optimal stopping problems and the corresponding optimal divided stopping times.

Dans cet article, nous étudions un problème de représentation considéré en premier dans une version plus simple par Bank and El Karoui (Ann. Probab. 32 (2004) 1030–1067). Un ingrédient clé de ce problème est une mesure aléatoire μ sur l’axe de temps qui, dans l’article présent, est permis d’avoir des atomes. Il se trouve que non seulement tels atomes posent des difficultés sérieuses dans la preuve du théorème de représentation, mais ils ont aussi un rôle important dans les applications, par exemple, aux problèmes d’investissement irréversibles. Ces applications suggèrent d’étudier le problème de représentation avec des processus mesurables par rapport à une tribu de Meyer qui est située entre la tribu prévisible et la tribu optionelle. Techniquement, notre preuve revient à une analyse délicate des problèmes d’arrêt optimal et des temps d’arrêt divisés optimaux correspondants.