Derivative martingale of the branching Brownian motion in dimension d≥1

Abstract

We consider a branching Brownian motion in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. We prove that there exists a random subset Θ of ${\mathbb{S}}^{\mathit{d}-1}$ of full measure such that the limit of the derivative martingale exists simultaneously for all directions $\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }$ almost surely. This allows us to define a random measure on ${\mathbb{S}}^{\mathit{d}-1}$ whose density is given by the derivative martingale.

The proof is based on first moment arguments: we approximate the martingale of interest by a series of processes, which do not take into account particles that travelled too far away. We show that these new processes are uniformly integrable martingales whose limits can be made to converge to the limit of the original martingale.

On considère un mouvement brownien branchant dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. Nous montrons qu’il existe presque sûrement un sous-ensemble aléatoire Θ de ${\mathbb{S}}^{\mathit{d}-1}$ de mesure pleine tel que la limite de la martingale dérivée existe simultanément pour toutes les directions $\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }$. Cela nous permet de définir une mesure aléatoire sur ${\mathbb{S}}^{\mathit{d}-1}$ dont la densité est donnée par la martingale dérivée.

La preuve est basée sur des arguments de premier moment : nous approchons les martingales d’intérêt par une série de processus, qui ne prennent pas en compte les particules qui ont voyagé trop loin. Nous montrons que ces nouveaux processus sont des martingales uniformément intégrables dont les limites convergent vers les limites des martingales d’origine.