Cutoff for polymer pinning dynamics in the repulsive phase

Abstract

We consider the Glauber dynamics for model of polymer interacting with a substrate or wall. The state space is the set of one-dimensional nearest-neighbor paths on $\mathbb{Z}$ with nonnegative integer coordinates, starting at 0 and coming back to 0 after L ($\mathit{L}\in 2\mathbb{N}$) steps and the Gibbs weight of a path $\mathit{\xi }={({\mathit{\xi }}_{\mathit{x}})}_{\mathit{x}=0}^{\mathit{L}}$ is given by ${\mathit{\lambda }}^{\mathcal{N}(\mathit{\xi })}$, where $\mathit{\lambda }\ge 0$ is a parameter which models the intensity of the interaction with the substrate and $\mathcal{N}(\mathit{\xi })$ is the number of zeros in ξ. The dynamics proceeds by updating ${\mathit{\xi }}_{\mathit{x}}$ with rate one for each $\mathit{x}=1,\dots ,\mathit{L}-1$, in a heat-bath fashion. This model was introduced in (Electron. J. Probab. 13 (2008) 213–258) with the aim of studying the relaxation to equilibrium of the system.

We present new results concerning the total variation mixing time for this dynamics when $\mathit{\lambda }<2$, which corresponds to the phase where the effects of the wall’s entropic repulsion dominates. For $\mathit{\lambda }\in [0,1]$, we prove that the total variation distance to equilibrium drops abruptly from 1 to 0 at time $({\mathit{L}}^{2}log\mathit{L})(1+\mathit{o}(1))/{\mathit{\pi }}^2$. For $\mathit{\lambda }\in (1,2)$, we prove that the system also exhibits cutoff at time $({\mathit{L}}^{2}log\mathit{L})(1+\mathit{o}(1))/{\mathit{\pi }}^2$ when considering mixing time from “extremal conditions” (that is, either the highest or lowest initial path for the natural order on the set of paths). Our results improve both previously proved upper and lower bounds in (Electron. J. Probab. 13 (2008) 213–258).

Nous considérons la dynamique de Glauber pour un modèle de polymère interagissant avec un substrat ou mur. L’espace d’états est l’ensemble des chemins sur ${\mathbb{Z}}_{+}$ avec incréments $\pm 1$, commençant en 0 et revenant à 0 après L pas $(\mathit{L}\in 2\mathbb{N})$. Le poids de Gibbs d’un chemin est donné par ${\mathit{\lambda }}^{\mathcal{N}(\mathit{\xi })}$, où $\mathit{\lambda }\ge 0$ est un paramètre qui modélise l’intensité de l’interaction avec le substrat et $\mathcal{N}(\mathit{\xi })$ est le nombre de zéros du chemin ξ. La dynamique procède en mettant à jour ${\mathit{\xi }}_{\mathit{x}}$ avec taux un pour chaque $\mathit{x}=1,\dots ,\mathit{L}-1$ à la manière d’un bain de chaleur. Ce modèle a été introduit dans (Electron. J. Probab. 13 (2008) 213–258) avec le but d’étudier la relaxation à l’équilibre du système. Nous présentons des nouveaux résultats concernant le temps de mélange de cette dynamique pour la distance en variation totale lorsque $\mathit{\lambda }<2$. Ce régime correspond à la phase où les effets de répulsion entropique de la paroi dominent. Pour $\mathit{\lambda }\in [0,1]$, nous prouvons que la distance de variation totale à l’équilibre chute brusquement de 1 à 0 au temps $({\mathit{L}}^{2}log\mathit{L})(1+\mathit{o}(1))/{\mathit{\pi }}^2$. Pour $\mathit{\lambda }\in (1,2)$, nous prouvons que le système présente également un “cutoff” au temps $({\mathit{L}}^{2}log\mathit{L})(1+\mathit{o}(1))/{\mathit{\pi }}^2$ en considérant le temps de mélange à partir des conditions extrêmales (c’est-à-dire le chemin initial le plus élevé ou le plus bas pour l’ordre naturel sur l’ensemble des chemins). Nos résultats améliorent les limites supérieures et inférieures déjà prouvées dans (Electron. J. Probab. 13 (2008) 213–258).