The spectral gap of sparse random digraphs

Abstract

The second largest eigenvalue of a transition matrix P has connections with many properties of the underlying Markov chain, and especially its convergence rate towards the stationary distribution. In this paper, we give an asymptotic upper bound for the second eigenvalue when P is the transition matrix of the simple random walk over a random directed graph with given degree sequence. This is the first result concerning the asymptotic behavior of the spectral gap for sparse non-reversible Markov chains with an unknown stationary distribution. An immediate consequence of our result is a proof of the Alon conjecture for directed regular graphs.

La seconde plus grande valeur propre d’une matrice de transition P capture de nombreuses propriétés de la chaîne de Markov sous-jacente, comme par exemple la vitesse de convergence vers l’état stationnaire. Dans cet article, on démontre une borne supérieure asymptotique pour la seconde valeur propre de P, lorsque P est la matrice de transition de la marche aléatoire simple sur un graphe dirigé avec une suite de degrés fixée. Il s’agit du premier résultat sur le comportement asymptotique de chaînes de Markov parcimonieuses et non-réversibles, dans lesquelles la loi stationnaire n’est pas connue. Une conséquence immédiate de notre résultat est une démontration de la conjecture d’Alon pour les graphes dirigés.