The Schelling model on Z

Abstract

A version of the Schelling model on $\mathbb{Z}$ is defined, where two types of agents are allocated on the sites. An agent prefers to be surrounded by other agents of its own type, and may choose to move if this is not the case. It then sends a request to an agent of opposite type chosen according to some given moving distribution and, if the move is beneficial for both agents, they swap location. We show that certain choices in the dynamics are crucial for the properties of the model. In particular, the model exhibits different asymptotic behavior depending on whether the moving distribution has bounded or unbounded support. Furthermore, the behavior changes if the agents are lazy in the sense that they only swap location if this strictly improves their situation. Generalizations to a version that includes multiple types are discussed. The work provides a rigorous analysis of so called Kawasaki dynamics on an infinite structure with local interactions.

Une version du modèle de Schelling sur $\mathbb{Z}$ est définie, où deux types d’agents sont distribués sur les sites. Un agent préfère être entouré d’agents du même type que lui, et peut choisir de se déplacer si ce n’est pas le cas. Il envoie alors une demande à un agent de type opposé suivant une certain loi de déplacement, et si ce déplacement est bénéfique pour les deux alors ils échangent leurs positions respectives. Nous montrons que certains choix de dynamiques sont cruciaux pour les propriétés du modèle. En particulier, le modèle montre différents comportements asymptotiques suivant si la distribution des déplacements a un support borné ou non borné. De plus, le comportement change si les agents sont paresseux, dans le sens où ils n’échangent leurs positions que si cela améliore strictement leurs situations. Les généralisations aux cas impliquant plus de types sont aussi discutées. Ce travail apporte une analyse rigoureuse de la dynamique de Kawasaki sur une structure infinie avec interactions locales.