Scaling limits and fluctuations for random growth under capacity rescaling

Abstract

We evaluate a strongly regularised version of the Hastings–Levitov model $\mathrm{HL}(\mathit{\alpha })$ for $0\le \mathit{\alpha }<2$. Previous results have concentrated on the small-particle limit where the size of the attaching particle approaches zero in the limit. However, we consider the case where we rescale the whole cluster by its capacity before taking limits, whilst keeping the particle size fixed. We first consider the case where $\mathit{\alpha }=0$ and show that under capacity rescaling, the limiting structure of the cluster is not a disk, unlike in the small-particle limit. Then we consider the case where $0<\mathit{\alpha }<2$ and show that under the same rescaling the cluster approaches a disk. We also evaluate the fluctuations and show that, when represented as a holomorphic function, they behave like a Gaussian field dependent on α. Furthermore, this field becomes degenerate as α approaches 0 and 2, suggesting the existence of phase transitions at these values.

Nous étudions une version fortement régularisée du modèle de Hastings–Levitov $\mathrm{HL}(\mathit{\alpha })$ pour $0\le \mathit{\alpha }<2$. Des résultats antérieurs se concentraient sur la limite des petites particules, où la taille de chaque particule rattachée se rapproche asymptotiquement de zéro. Par contraste, nous étudions le cas où l’on renormalise l’amas tout entier par sa capacité avant de passer à la limite, tout en laissant fixe la taille des particules. Nous considérons tout d’abord le cas où $\mathit{\alpha }=0$ et montrons que sous cette renormalisation par la capacité, et contrairement au cas de la limite des petites particules, la structure limite de l’amas n’est pas un disque. Ensuite, nous considérons le cas où $0<\mathit{\alpha }<2$, et démontrons que sous cette même renormalisation, l’amas tend vers un disque. Nous estimons également les fluctuations en montrons que, lorsqu’on les représente par une fonction holomorphe, ces dernières se comportent comme un champ gaussien dépendant de α. De plus, ce champ devient dégénéré lorsque α tend vers 0 ou 2, ce qui suggère l’existence de transitions de phase en ces valeurs.