Quantitative homogenization of differential forms

Abstract

We develop a quantitative theory of stochastic homogenization in a general framework involving differential forms. Inspired by recent progress in the uniformly elliptic setting, the analysis relies on the study of certain sub- and superadditive quantities. We establish an algebraic rate of convergence for these quantities and an algebraic error estimate for the homogenization of the Dirichlet problem. Most of the ideas needed in this article come from two distinct theories, the theory of quantitative stochastic homogenization, and the generalization of the main results of functional analysis and of the regularity theory of second-order elliptic equations to the setting of differential forms.

Dans cet article, nous étendons la théorie de l’homogénéisation stochastique quantitative au cadre des formes différentielles. L’analyse repose sur l’étude de certaines quantités sous et sur-additives qui ont été utilisées pour développer la théorie dans le cadre des équations uniformément elliptiques. Dans un premier temps, nous démontrons que ces quantités convergent et quantifions leur vitesse de convergence. Une fois ce résultat établi, nous démontrons un théorème d’homogénéisation pour le problème de Dirichlet et obtenons que l’erreur tend vers 0 avec une vitesse de convergence algébrique. Les outils utilisés proviennent de deux théories distinctes, la théorie de l’homogénéisation stochastique quantitative et la généralisation des principaux résultats de l’analyse fonctionnelle et de la théorie de la régularité pour les équations elliptiques au cadre des formes différentielles.