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May 2021 On conditioning a self-similar growth-fragmentation by its intrinsic area
Jean Bertoin, Nicolas Curien, Igor Kortchemski
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57(2): 1136-1156 (May 2021). DOI: 10.1214/20-AIHP1110


The genealogical structure of self-similar growth-fragmentations can be described in terms of a branching random walk. The so-called intrinsic area A arises in this setting as the terminal value of a remarkable additive martingale. Motivated by connections with some models of random planar geometry, the purpose of this work is to investigate the effect of conditioning a self-similar growth-fragmentation on its intrinsic area. The distribution of A is a fixed point of a useful smoothing transform which enables us to establish the existence of a regular density a and to determine the asymptotic behavior of a(r) as r (this can be seen as a local version of Kesten–Grincevičius–Goldie theorem’s for random affine fixed point equations in a particular setting). In turn, this yields a family of martingales from which the formal conditioning on A=r can be realized by probability tilting. We point at a limit theorem for the conditional distribution given A=r as r, and also observe that such conditioning still makes sense under the so-called canonical measure for which the growth-fragmentation starts from 0.

La structure généalogique d’un processus de croissance-fragmentation auto-similaire peut être décrite en termes d’une marche aléatoire branchante. Son aire intrinsèque A apparait dans ce cadre comme la valeur terminale d’une martingale additive remarquable. L’objet de ce travail est l’étude du conditionnement du processus par l’aire intrinsèque ; il est motivé par certains modèles de géométrie aléatoire plane. La loi de A est le point fixe d’une transformation de lissage qui permet d’établir l’existence d’une densité régulière a et de déterminer le comportement asymptotique de a(r) lorsque r (ce qui peut être vu comme une version locale du théorème de Kesten–Grincevičius–Goldie pour les points fixes d’ une équation aléatoire affine dans un cadre particulier). Cela conduit à une famille de martingales à partir desquelles le conditionnement par l’évènement A=r peut être réalisé au moyen d’un changement de probabilités. Nous obtenons un théorème limite pour la loi conditionnelle sachant A=r lorsque r, et observons également qu’un tel conditionnement garde un sens sous la mesure dite canonique pour laquelle le processus de croissance-fragmentation part de 0.


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Jean Bertoin. Nicolas Curien. Igor Kortchemski. "On conditioning a self-similar growth-fragmentation by its intrinsic area." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (2) 1136 - 1156, May 2021.


Received: 24 August 2019; Revised: 4 September 2020; Accepted: 5 October 2020; Published: May 2021
First available in Project Euclid: 13 May 2021

Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1110

Primary: 60G18 , 60J80

Keywords: branching process , Growth-fragmentation , Intrinsic martingale , self-similarity , smoothing transform

Rights: Copyright © 2021 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré


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Vol.57 • No. 2 • May 2021
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