Abstract
The genealogical structure of self-similar growth-fragmentations can be described in terms of a branching random walk. The so-called intrinsic area arises in this setting as the terminal value of a remarkable additive martingale. Motivated by connections with some models of random planar geometry, the purpose of this work is to investigate the effect of conditioning a self-similar growth-fragmentation on its intrinsic area. The distribution of is a fixed point of a useful smoothing transform which enables us to establish the existence of a regular density a and to determine the asymptotic behavior of as (this can be seen as a local version of Kesten–Grincevičius–Goldie theorem’s for random affine fixed point equations in a particular setting). In turn, this yields a family of martingales from which the formal conditioning on can be realized by probability tilting. We point at a limit theorem for the conditional distribution given as , and also observe that such conditioning still makes sense under the so-called canonical measure for which the growth-fragmentation starts from 0.
La structure généalogique d’un processus de croissance-fragmentation auto-similaire peut être décrite en termes d’une marche aléatoire branchante. Son aire intrinsèque apparait dans ce cadre comme la valeur terminale d’une martingale additive remarquable. L’objet de ce travail est l’étude du conditionnement du processus par l’aire intrinsèque ; il est motivé par certains modèles de géométrie aléatoire plane. La loi de est le point fixe d’une transformation de lissage qui permet d’établir l’existence d’une densité régulière a et de déterminer le comportement asymptotique de lorsque (ce qui peut être vu comme une version locale du théorème de Kesten–Grincevičius–Goldie pour les points fixes d’ une équation aléatoire affine dans un cadre particulier). Cela conduit à une famille de martingales à partir desquelles le conditionnement par l’évènement peut être réalisé au moyen d’un changement de probabilités. Nous obtenons un théorème limite pour la loi conditionnelle sachant lorsque , et observons également qu’un tel conditionnement garde un sens sous la mesure dite canonique pour laquelle le processus de croissance-fragmentation part de 0.
Citation
Jean Bertoin. Nicolas Curien. Igor Kortchemski. "On conditioning a self-similar growth-fragmentation by its intrinsic area." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (2) 1136 - 1156, May 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1110
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