Fractional moments of the stochastic heat equation

Abstract

Consider the solution $\mathcal{Z}(\mathit{t},\mathit{x})$ of the one-dimensional stochastic heat equation, with a multiplicative spacetime white noise, and with the delta initial data $\mathit{Z}(0,\mathit{x})=\mathit{\delta }(\mathit{x})$. For any real $\mathit{p}>0$, we obtained detailed estimates of the pth moment of ${\mathit{e}}^{\mathit{t}/12}\mathcal{Z}(2\mathit{t},0)$, as $\mathit{t}\to \infty$, and from these estimates establish the one-point upper-tail large deviation principle of the Kardar–Parisi–Zhang equation. The deviations have speed t and rate function ${\mathrm{\Phi }}_{+}(\mathit{y})=\frac{4}{3}{\mathit{y}}^{3/2}$. Our result confirms the existing physics predictions [Europhys. Lett. 113 (2016) 60004] and also [Phys. Rev. E 94 (2016) 032108].

Nous considérons la solution $\mathcal{Z}(\mathit{t},\mathit{x})$ de l’équation de la chaleur stochastique unidimensionnelle, avec un bruit blanc multiplicatif en espace et en temps, et pour toute condition initiale de Dirac $\mathit{Z}(0,\mathit{x})=\mathit{\delta }(\mathit{x})$. Pour tout réel $\mathit{p}>0$, nous obtenons une estimée précise du p-ième moment de ${\mathit{e}}^{\mathit{t}/12}\mathcal{Z}(2\mathit{t},0)$, lorsque $\mathit{t}\to \infty$, et à partir de ces estimées, nous établissons une borne supérieure de grandes déviations pour l’équation de Kardar–Parisi–Zhang. Les déviations ont pour vitesse t et fonction de taux ${\mathrm{\Phi }}_{+}(\mathit{y})=\frac{4}{3}{\mathit{y}}^{3/2}$. Nos résultats confirment les prédictions des physiciens [Europhys. Lett. 113 (2016) 60004] et aussi [Phys. Rev. E 94 (2016) 032108].