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May 2021 Directed polymer in γ-stable random environments
Roberto Viveros
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Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57(2): 1081-1102 (May 2021). DOI: 10.1214/20-AIHP1108


The transition from a weak-disorder (diffusive) to a strong-disorder (localized) phase for directed polymers in a random environment is a well studied phenomenon. In the most common setup, it is established that the phase transition is trivial when the transversal dimension d equals 1 or 2 (the diffusive phase is reduced to β=0) while when d3, there is a critical temperature βc(0,) which delimits the two phases. The proof of the existence of a diffusive regime for d3 is based on a second moment method (Comm. Math. Phys. 123 (1989) 529–534, Ann. Probab. 34 (2006) 1746–1770, J. Stat. Phys. 52 (1988) 609–626), and thus relies heavily on the assumption that the variable which encodes the disorder intensity (which in most of the mathematics literature assumes the form eβηx), has finite second moment. The aim of this work is to investigate how the presence/absence of phase transition may depend on the dimension d in the case when the disorder variable displays a heavier tail. To this end we replace eβηx by (1+βωx) where ωx is in the domain of attraction of a stable law with parameter γ(1,2). In this setup we show that a non-trivial phase transition occurs if and only if γ>1+2/d. More precisely, when γ1+2/d, the free energy of the system is smaller than its annealed counterpart at every temperature whereas when γ>1+2/d the martingale sequence of renormalized partition functions converges to an almost surely positive random variable for all β sufficiently small.

Le passage d’un désordre faible (phase diffusive) à un désordre fort (phase localisée) pour des polymères dirigés dans un environnement aléatoire est un phénomène bien étudié. Dans la configuration la plus courante, il est établi que la transition de phase est triviale lorsque la dimension transversale d vaut 1 ou 2 (la phase diffusive est réduite à β=0) tandis que lorsque d3, il existe une température critique βc(0,) qui délimite les deux phases. La preuve de l’existence d’un régime diffusif pour d3 est basée sur une méthode du second moment (Comm. Math. Phys. 123 (1989) 529–534, Ann. Probab. 34 (2006) 1746–1770, J. Stat. Phys. 52 (1988) 609–626), et repose donc fortement sur l’hypothèse que la variable qui encode l’intensité du désordre (qui dans la plupart de la littérature mathématique prend la forme eβηx), a un second moment fini. Le but de ce travail est d’étudier comment la présence/absence de transition de phase peut dépendre de la dimension d dans le cas où la variable désordre affiche une queue plus lourde. Pour cela on remplace eβηx par (1+βωx)ωx est dans le domaine d’attraction d’une loi stable avec le paramètre γ(1,2). Dans cette configuration, nous montrons qu’une transition de phase non triviale se produit si et seulement si γ>1+2/d. Plus précisément, lorsque γ1+2/d, l’énergie libre du système est plus petite que celle de son homologue recuit à chaque température alors que lorsque γ>1+2/d la suite martingale des fonctions de partition renormalisées converge vers une variable aléatoire presque sûrement positive pour tout β suffisamment petit.


The author is very grateful to Hubert Lacoin for suggesting to work with this problem, for very fruitful discussions and for his very useful comments and suggestions concerning the manuscript. We are also very much indebted to the referees and the Associate Editor for their constructive criticism, comments and remarks that resulted in a major revision of the original manuscript.


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Roberto Viveros. "Directed polymer in γ-stable random environments." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (2) 1081 - 1102, May 2021.


Received: 7 May 2019; Revised: 3 August 2020; Accepted: 5 October 2020; Published: May 2021
First available in Project Euclid: 13 May 2021

Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1108

Primary: 82D60

Rights: Copyright © 2021 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré


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Vol.57 • No. 2 • May 2021
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