Abstract
For , , and an instance h of the Gaussian free field (GFF) on U, the γ-Liouville quantum gravity (LQG) surface associated with is formally described by the Riemannian metric tensor on U. Previous work by the authors showed that one can define a canonical metric (distance function) on U associated with a γ-LQG surface. We show that this metric is conformally covariant in the sense that it respects the coordinate change formula for γ-LQG surfaces. That is, if U, are domains, is a conformal transformation, , and , then for all . This proves that is intrinsic to the quantum surface structure of , i.e., it does not depend on the particular choice of parameterization.
Pour , , et une réalisation h du champ libre gaussien (GFF) sur U, la γ-surface de gravité quantique de Liouville (LQG) associée à est décrite formellement par le tenseur métrique riemannien sur U. De précédents travaux des auteurs ont montré que l’on peut définir une métrique (fonction de distance) canonique sur U associée à une γ-surface LQG. Nous montrons que cette métrique est conformément covariante au sens où elle respecte les formules de changement de variables pour les γ-surfaces LQG. Précisément, si U, sont des domaines, et est une transformation conforme, en notant et , alors pour tout . Ceci montre que est une quantité intrinsèque de la structure de surface quantique de , au sens où elle ne dépend pas d’un choix particulier de paramétrisation.
Acknowledgements
We thank two anonymous referees for helpful comments on an earlier version of this paper. We thank Jian Ding, Julien Dubédat, Alex Dunlap, Hugo Falconet, Josh Pfeffer, Scott Sheffield, and Xin Sun for helpful discussions. EG was supported by a Herchel Smith fellowship and a Trinity College junior research fellowship. JM was supported by ERC Starting Grant 804166.
Citation
Ewain Gwynne. Jason Miller. "Conformal covariance of the Liouville quantum gravity metric for ." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (2) 1016 - 1031, May 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1105
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