A reverse Aldous–Broder algorithm

Abstract

The Aldous–Broder algorithm provides a way of sampling a uniformly random spanning tree for finite connected graphs using simple random walk. Namely, start a simple random walk on a connected graph and stop at the cover time. The tree formed by all the first-entrance edges has the law of a uniform spanning tree. Here we show that the tree formed by all the last-exit edges also has the law of a uniform spanning tree. This answers a question of Tom Hayes and Cris Moore from 2010. The proof relies on a bijection that is related to the BEST theorem in graph theory. We also give other applications of our results, including new proofs of the reversibility of loop-erased random walk, of the Aldous–Broder algorithm itself, and of Wilson’s algorithm.

L’algorithme d’Aldous–Broder fournit un moyen d’échantillonner un arbre couvrant aléatoire uniforme pour des graphes connexes finis en utilisant une marche aléatoire simple. Il procède de la façon suivante : commençons une marche aléatoire simple sur un graphe connexe et arrêtons-nous au temps de couverture. L’arbre formé par toutes les arêtes de première entrée a la loi d’un arbre couvrant uniforme. Nous montrons ici que l’arbre formé par toutes les arêtes de dernière sortie a également la loi d’un arbre couvrant uniforme. Cela répond à une question de Tom Hayes et Cris Moore de 2010. La preuve repose sur une bijection qui est liée au théorème BEST de la théorie des graphes. Nous donnons également d’autres applications de nos résultats, comprenant de nouvelles preuves de la réversibilité de la marche aléatoire à boucles effacées, de l’algorithme d’Aldous–Broder lui-même, et de l’algorithme de Wilson.