Strong convergence order for slow–fast McKean–Vlasov stochastic differential equations

Abstract

In this paper, we consider the averaging principle for a class of McKean–Vlasov stochastic differential equations with slow and fast time-scales. Under some proper assumptions on the coefficients, we first prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation with convergence order $1/3$ using the approach of time discretization. Furthermore, under stronger regularity conditions on the coefficients, we use the technique of Poisson equation to improve the order to $1/2$, which is the optimal order of strong convergence in general.

Dans cet article, nous considérons le principe de moyennisation pour une classe d’équations différentielles stochastiques de type McKean–Vlasov avec une échelle de temps lente et une échelle de temps rapide. Sous des hypothèses adéquates sur les coefficients, nous montrons d’abord que la composante lente converge vers la solution de l’équation moyennée correspondante avec un ordre de convergence $1/3$ en utilisant une approche par discrétisation en temps. D’autre part, sous des hypothèses de régularité plus fortes sur les coefficients, nous utilisons la technique de l’équation de Poisson pour améliorer l’ordre à $1/2$, ce qui est l’ordre optimal de la convergence forte en général.