Sharp phase transition for the continuum Widom–Rowlinson model

Abstract

The Widom–Rowlinson model (or the Area-interaction model) is a Gibbs point process in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ with the formal Hamiltonian defined as the volume of ${\cup }_{\mathit{x}\in \mathit{\omega }}{\mathit{B}}_1(\mathit{x})$, where ω is a locally finite configuration of points and ${\mathit{B}}_1(\mathit{x})$ denotes the unit closed ball centred at x. The model is also tuned by two other parameters: the activity $\mathit{z}>0$ related to the intensity of the process and the inverse temperature $\mathit{\beta }\ge 0$ related to the strength of the interaction. In the present paper we investigate the phase transition of the model in the point of view of percolation theory and the liquid-gas transition. First, considering the graph connecting points with distance smaller than $2\mathit{r}>0$, we show that for any $\mathit{\beta }\ge 0$, there exists $0<{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})<+\infty$ such that an exponential decay of connectivity at distance n occurs in the subcritical phase (i.e. $\mathit{z}<{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})$) and a linear lower bound of the connection at infinity holds in the supercritical case (i.e. $\mathit{z}>{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})$). These results are in the spirit of recent works using the theory of randomised tree algorithms (Probab. Theory Related Fields 173 (2019) 479–490, Ann. of Math. 189 (2019) 75–99, Duminil-Copin, Raoufi and Tassion (2018)). Secondly we study a standard liquid-gas phase transition related to the uniqueness/non-uniqueness of Gibbs states depending on the parameters z, β. Old results (Phys. Rev. Lett. 27 (1971) 1040–1041, J. Chem. Phys. 52 (1970) 1670–1684) claim that a non-uniqueness regime occurs for $\mathit{z}=\mathit{\beta }$ large enough and it is conjectured that the uniqueness should hold outside such an half line ($\mathit{z}=\mathit{\beta }\ge {\mathit{\beta }}_{\mathit{c}}>0$). We solve partially this conjecture in any dimension by showing that for β large enough the non-uniqueness holds if and only if $\mathit{z}=\mathit{\beta }$. We show also that this critical value $\mathit{z}=\mathit{\beta }$ corresponds to the percolation threshold ${\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})=\mathit{\beta }$ for β large enough, providing a straight connection between these two notions of phase transition.

Le modèle de Widom–Rowlinson (appelé aussi Area-interaction model) est un processus ponctuel de Gibbs dans ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ d’Hamiltonien le volume de ${\cup }_{\mathit{x}\in \mathit{\omega }}{\mathit{B}}_1(\mathit{x})$, où ω est une configuration localement finie de points, et ${\mathit{B}}_1(\mathit{x})$ la boule unité fermée centrée en x. Le modèle a deux paramètres : l’activité $\mathit{z}>0$ liée à l’intensité du processus, et la température inverse $\mathit{\beta }\ge 0$ liée à la force de l’interaction. Dans cet article nous étudions la transition de phase du modèle du point de vue de la théorie de la percolation, et du point de vue de la transition liquide-gaz. Premièrement, en considérant le graphe connectant les points à distance au plus $2\mathit{r}>0$, nous montrons que pour chaque $\mathit{\beta }\ge 0$, il existe $0<{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})<+\infty$ tel qu’il y ait décroissance exponentielle de la connectivité dans le régime sous-critique (i.e. $\mathit{z}<{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})$) et une minoration linéaire de la connectivité à l’infini dans le régime sur-critique (i.e. $\mathit{z}>{\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})$). Ces résultats sont inspirés de travaux récents utilisant la théorie des algorithmes aléatoires (Probab. Theory Related Fields 173 (2019) 479–490, Ann. of Math. 189 (2019) 75–99, Duminil-Copin, Raoufi and Tassion (2018)). Deuxièmement nous étudions la transition de phase liquide-gaz, liée à l’unicité/non-unicité de la mesure de Gibbs en fonction des paramètres z, β. Des résultats anciens (Phys. Rev. Lett. 27 (1971) 1040–1041, J. Chem. Phys. 52 (1970) 1670–1684) montrent qu’il y a non-unicité lorsque $\mathit{z}=\mathit{\beta }$ sont assez grands, et il est conjecturé qu’il y a unicité en dehors de cette demi-droite ($\mathit{z}=\mathit{\beta }\ge {\mathit{\beta }}_{\mathit{c}}>0$). Nous résolvons partiellement cette conjecture en toute dimension, en démontrant que pour chaque β assez grand, il y a non-unicité si et seulement si $\mathit{z}=\mathit{\beta }$. Nous démontrons également que la valeur critique $\mathit{z}=\mathit{\beta }$ correspond au seuil de percolation ${\tilde{\mathit{z}}}_{\mathit{c}}^{\mathit{a}}(\mathit{\beta },\mathit{r})=\mathit{\beta }$ pour β assez grand, donnant ainsi un lien étroit entre les deux notions de transition de phase développées dans le papier.