Phase transition for the interchange and quantum Heisenberg models on the Hamming graph

Abstract

We study a family of random permutation models on the Hamming graph $\mathit{H}(2,\mathit{n})$ (i.e., the 2-fold Cartesian product of complete graphs), containing the interchange process and the cycle-weighted interchange process with parameter $\mathit{\theta }>0$. This family contains the random walk representation of the quantum Heisenberg ferromagnet. We show that in these models the cycle structure of permutations undergoes a phase transition – when the number of transpositions defining the permutation is $\le \mathit{c}{\mathit{n}}^2$, for small enough $\mathit{c}>0$, all cycles are microscopic, while for more than $\ge \mathit{C}{\mathit{n}}^2$ transpositions, for large enough $\mathit{C}>0$, macroscopic cycles emerge with high probability.

We provide bounds on values C, c depending on the parameter θ of the model, in particular for the interchange process we pinpoint exactly the critical time of the phase transition. Our results imply also the existence of a phase transition in the quantum Heisenberg ferromagnet on $\mathit{H}(2,\mathit{n})$, namely for low enough temperatures spontaneous magnetization occurs, while it is not the case for high temperatures.

At the core of our approach is a novel application of the cyclic random walk, which might be of independent interest. By analyzing explorations of the cyclic random walk, we show that sufficiently long cycles of a random permutation are uniformly spread on the graph, which makes it possible to compare our models to the mean-field case, i.e., the interchange process on the complete graph, extending the approach used earlier by Schramm.

Nous étudions une famille de modèles de permutations aléatoires sur le graphe de Hamming $\mathit{H}(2,\mathit{n})$ (c’est-à-dire le produit cartésien de deux graphes complets), incluant le processus d’échange et le processus d’échange pondéré par les cycles avec paramètre $\mathit{\theta }>0$. Cette famille comprend la représentation par marches aléatoires du modèle de Heisenberg quantique ferromagnétique. Nous montrons que dans ces modèles, la structure des cycles des permutations satisfait une transition de phase – lorsque le nombre de transpositions définissant la permutation est $\le \mathit{c}{\mathit{n}}^2$, pour $\mathit{c}>0$ assez petit, tous les cycles sont microscopiques, tandis que lorsque ce nombre est $\ge \mathit{C}{\mathit{n}}^2$ avec $\mathit{C}>0$ assez grand, des cycles macroscopiques apparaissent avec grande probabilité.

Nous déterminons des bornes sur les constantes C, c dépendant du paramètre θ du modèle, en particulier, pour le processus d’échange, nous déterminons exactement le temps critique de la transition de phase. Nos résultats impliquent également l’existence d’une transition de phase pour le modèle de Heisenberg quantique ferromagnétique sur $\mathit{H}(2,\mathit{n})$, stipulant que pour des températeurs assez basses, une magnétisation spontanée apparaît alors que cela n’est pas le cas aux hautes températures.

Le cœur de notre approche consiste en une nouvelle application de la marche aléatoire cyclique, qui pourrait être intéressante en elle-même. En analysant les explorations de la marche aléatoire cyclique, nous montrons que des cycles suffisamment longs d’une permutation aléatoire sont répartis uniformément sur le graphe, ce qui rend possible une comparaison entre nos modèles au cas du champ moyen, c’est-à-dire le processus d’échange sur le graphe complet, étendant ainsi l’approche antérieure utilisée par Schramm.