Global observables for RW: Law of large numbers

Abstract

We consider the sums ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}={\sum }_{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}}\mathit{F}({\mathit{S}}_{\mathit{n}})$ where ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ is a random walk on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ and $\mathit{F}:{\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ is a global observable, that is, a bounded function which admits an average value when averaged over large cubes. We show that ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}$ always satisfies the weak Law of Large Numbers but the strong law fails in general except for one dimensional walks with drift. Under additional regularity assumptions on F, we obtain the Strong Law of Large Numbers and estimate the rate of convergence. The growth exponents which we obtain turn out to be optimal in two special cases: for quasiperiodic observables and for random walks in random scenery.

Nous considérons la somme ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}={\sum }_{\mathit{n}=1}^{\mathit{N}}\mathit{F}({\mathit{S}}_{\mathit{n}})$, où ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ est une marche aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ et $\mathit{F}:{\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}\to \mathbb{R}$ est une observable globale, c’est-à-dire une fonction bornée ayant une valeur moyenne sur de grands cubes. Nous montrons que ${\mathit{T}}_{\mathit{N}}$ satisfait toujours la loi faible des grands nombres mais la loi forte échoue en général, sauf dans le cas de la marche aléatoire unidimensionnelle avec dérive. Sous certaines hypothèses de régularité supplémentaires, nous obtenons la loi forte des grands nombres et nous estimons la vitesse de convergence. Les exposants que nous obtenons sont optimaux dans deux cas particuliers: pour les observables quasi-périodiques et pour les marches aléatoires en paysage aléatoire.