Global martingale solutions for quasilinear SPDEs via the boundedness-by-entropy method

Abstract

The existence of global-in-time bounded martingale solutions to a general class of cross-diffusion systems with multiplicative Stratonovich noise is proved. The equations describe multicomponent systems from physics or biology with volume-filling effects and possess a formal gradient-flow or entropy structure. This structure allows for the derivation of almost surely positive lower and upper bounds for the stochastic processes. The existence result holds under some assumptions on the interplay between the entropy density and the multiplicative noise terms. The proof is based on a stochastic Galerkin method, a Wong–Zakai type approximation of the Wiener process, the boundedness-by-entropy method, and the tightness criterion of Brzeźniak and coworkers. Three-species Maxwell–Stefan systems and n-species biofilm models are examples that satisfy the general assumptions.

Nous prouvons l’existence des solutions globales et bornées pour une classe générale de systèmes de diffusion croisées avec bruit de Stratonovich multiplicatif. Les équations décrivent des systèmes à plusieurs composantes issus de la physique ou de la biologie, avec des effets de remplissage de volume (« volume-filling »), et possèdent une structure formelle de flot de gradient ou d’entropie. Cette structure permet d’obtenir des limites presque-sures inférieures et supérieures positives pour les processus stochastiques. Le résultat d’existence a lieu sous certaines hypothèses sur l’interaction entre la densité d’entropie et les termes de bruit multiplicatif. La preuve est basée sur une méthode stochastique de Galerkin, une approximation de type Wong–Zakai du processus de Wiener, la méthode « boundedness-by-entropy » et le critère de tension de Brzeźniak et de ses collaborateurs. Les systèmes de Maxwell–Stefan à trois espèces et les modèles de biofilms à n espèces sont des exemples qui satisfont les hypothèses générales.