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February 2021 Estimating a density, a hazard rate, and a transition intensity via the ρ-estimation method
Mathieu Sart
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57(1): 195-249 (February 2021). DOI: 10.1214/20-AIHP1076

Abstract

We propose a unified study of three statistical settings by widening the ρ-estimation method developed in Baraud, Birgé and Sart (Invent. Math. 207 (2017) 425–517). More specifically, we aim at estimating a density, a hazard rate (from censored data), and a transition intensity of a time inhomogeneous Markov process. We show non-asymptotic risk bounds for an Hellinger-type loss when the models consist, for instance, of piecewise polynomial functions, multimodal functions, or functions whose square root is piecewise convex-concave. Under convex-type assumptions on the models, maximum likelihood estimators coincide with ρ-estimators, and satisfy therefore our risk bounds. However, our results also apply to some models where the maximum likelihood method does not work. Subsequently, we present an alternative way, based on estimator selection, to define a piecewise polynomial estimator. We control the risk of the estimator and carry out some numerical simulations to compare our approach with a more classical one based on maximum likelihood only.

Nous proposons une étude unifiée de trois cadres statistiques par la méthode de la ρ-estimation développée dans Baraud, Birgé and Sart (Invent. Math. 207 (2017) 425–517). Plus précisément, nous proposons d’estimer une densité, un taux de risque (pour des données censurées) et une intensité de transition pour un processus de Markov à temps inhomogène. Nous montrons des bornes de risque non-asymptotiques pour une perte de type Hellinger lorsque les modèles sont, par exemple, constitués de fonctions polynomiales par morceaux, de fonctions multimodales, ou de fonctions dont la racine carrée est convexe-concave par morceaux. Sous des hypothèses de convexité sur les modèles, les estimateurs du maximum de vraisemblance coincident avec les ρ-estimateurs et vérifient donc nos bornes de risque. Cependant, nos résultats s’appliquent également à certains modèles où la méthode du maximum de vraisemblance ne fonctionne pas. Dans la suite, nous présentons une autre méthode, basée sur la sélection d’estimateurs, pour définir un estimateur polynomial par morceaux. Nous contrôlons le risque de l’estimateur et présentons quelques simulations numériques pour comparer notre approche à une plus classique basée uniquement sur la vraisemblance.

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Mathieu Sart. "Estimating a density, a hazard rate, and a transition intensity via the ρ-estimation method." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (1) 195 - 249, February 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1076

Information

Received: 13 December 2019; Revised: 26 May 2020; Accepted: 15 June 2020; Published: February 2021
First available in Project Euclid: 12 March 2021

Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1076

Subjects:
Primary: 62G07, 62G35, 62M05, 62N02

Rights: Copyright © 2021 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
55 PAGES

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Vol.57 • No. 1 • February 2021
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